Gráfszínezések és gráfok felbontásai = Colorings and decompositions of graphs

Barát, János (2012) Gráfszínezések és gráfok felbontásai = Colorings and decompositions of graphs. Project Report. OTKA.

Preview

PDF 75837_ZJ1.pdf Download (53kB) | Preview

Abstract

A nem-ismétlő színezéseket a véletlen módszer alkalmazhatósága miatt kezdték el vizsgálni. Felső korlátot adtunk a színek számára, amely a maximum fok és a favastagság lineáris függvénye. Olyan színezéseket is vizsgáltunk, amelyek egy síkgráf oldalain nem-ismétlők. Sejtés volt, hogy véges sok szín elég. Ezt bizonyítottuk 24 színnel. A kromatikus számot és a metszési számot algoritmikusan nehéz meghatározni. Ezért meglepő Albertson egy friss sejtése, amely kapcsolatot állít fel közöttük: ha egy gráf kromatikus száma r, akkor metszési száma legalább annyi, mint a teljes r csúcsú gráfé. Bizonyítottuk a sejtést, ha r<3.57n, valamint ha 12<r<17. Ez utóbbi azért érdekes, mert a teljes r csúcsú gráf metszési száma csak r<13 esetén ismert. A témakör legfontosabb nyitott kérdése a Hadwiger-sejtés, mely szerint minden r-kromatikus gráf tartalmazza a teljes r csúcsú gráfot minorként. Ennek általánosításaként fogalmazták meg a lista színezési Hadwiger sejtést: ha egy gráf nem tartalmaz teljes r csúcsú gráfot minorként, akkor az r-lista színezhető. Megmutattuk, hogy ez a sejtés hamis. Legalább cr színre szükségünk van bizonyos gráfokra, ahol c=4/3. Thomassennel vetettük fel azt a kérdést, hogy milyen feltétel garantálja, hogy G élei felbonthatók egy adott T fa példányaira. Legyen Y az a fa, melynek fokszámsorozata (1,1,1,2,3). Megmutattuk, hogy minden 287-szeresen élösszefüggő fa felbomlik Y-okra, ha az élszám osztható 4-gyel. | Nonrepetitive colorings often use the probabilistic method. We gave an upper bound as a linear function of the maximum degree and the tree-width. We also investigated colorings, which are nonrepetitive on faces of plane graphs. As conjectured, a finite number of colors suffice. We proved it by 24 colors. The chromatic and crossing numbers are both difficult to compute. The recent Albertson's conjecture is a surprising relation between the two: if the chromatic number is r, then the crossing number is at least the crossing number of the complete graph on r vertices. We proved this claim, if r<3.57n, or 12<r<17. The latter is remarkable, since the crossing number of the complete graph is only known for r<13. The most important open question of the field is Hadwiger's conjecture: every r-chromatic graph contains as a minor the complete graph on r vertices. As a generalisation, the following is the list coloring Hadwiger conjecture: if a graph does not contain as a minor the complete graph on r vertices , then the graph is r-list colorable. We proved the falsity of this claim. In our examples, at least cr colors are necessary, where c=4/3. Decomposition of graphs is well-studied. Thomassen and I posed the question of a sufficient connectivity condition, which guaranties a T-decomposition. Let Y be the tree with degree sequence (1,1,1,2,3). We proved every 287-edge connected graph has a Y-decomposition, if the size is divisible by four.

Actions (login required)

Edit Item