REAL

Véges geometria = Finite geometry

Szőnyi, Tamás and Barát, János and Gács, András and Kiss, György and Kovács, István and Mengyán, Csaba and Nagy, Gábor Péter and Révai, Nóra and Ruff, János and Sziklai, Péter and Weiner, Zsuzsanna and Wettl, Ferenc (2007) Véges geometria = Finite geometry. Project Report. OTKA.

[img]
Preview
PDF
43758_ZJ1.pdf

Download (194Kb)

Abstract

Megmutattuk, hogy négyzet q-ra PG(2,q)-ban 4qlog q és q^(3/2)-q+2q^(1/2) között minden méretű minimális lefogó ponthalmaz létezik, sőt egy kicsit szűkebb intervallum minden értékére q-ban több, mint polinomnyi. Magasabb dimenziós projektív terekben a hipersíkokat r modulo p pontban metsző halmazok méretére bizonyos esetekben éles alsó becslést adtunk, amely a maximális ívek nemlétezésére vonatkozó Ball-Blokhuis-Mazzocca tétel általánosítása. Ez osztható lineáris kódok hosszára az n legalább (r-1)q+(p-1)r alsó becslést adja, ahol r az az érték, amellyel n és minden kódszó súlya is osztható. Megmutattuk, hogy PG(2,q) reguláris szemioválisai csak az oválisok és az unitálok. Segre típusí eredményt sikerült belátni másodrendű kúpok részleges kúpszeletnyalábjaira. Kis minimális lefogó ponthalmazok struktúrájáról azt sikerült megmutatni, hogy ezek minden egyenest 1 modulo p^e pontban metszenek, ahol e osztja h-t, ha q=p^h. Ezen túlmenően, ha a metszet p^e+1 elemű, akkor az GF(p^e) feletti részegyenes. Kis t-szeres lefogó ponthalmazokra az egyenesekkel való metszetekre beláttuk, hogy azok modulo p t-vel kongruensek, ahol t a karakterisztika. Ha q páros, akkor stabilitási eredményt bizonyítottunk PG(2,q) páros halmazaira. Az eredmény négyzet q-ra éles, és B. Segre ívek beágyazásáról szóló híres tételét általánosítja. Megmutattuk, hogy a Q(4,q) általánosított négyszögben nincsenek q^2-1 pontú maximális parciális ovoidok. | It was proven that in PG(2,q), q square, there is a minimal blocking set for any size between 4qlog q and q^(3/2)-q+2q^(1/2), Moreover, for a slightly smaller interval we also proved that the number of nonisomorphic minimal blocking sets of that size is more than polynomial in q. For sets intersecting all hyperplanes in r modulo p points we found a lower bound that is sharp in some cases. The proof generalizes the nonexistence of maximal arcs, due to Ball-Blokhuis-Mazzocca. For divisible linear codes it gives that the length is at least (r-1)q+(p-1)r, where divides the length and the weight of all codewords. We found that in PG(2,q) regular semiovals must be either ovals or unitals. We obtained a Segre type theorem for partial flocks of the quadratic cone. About the structure of small minimal blocking sets we obtained the following: each line intersects the set in 1 modulo p^e points, where e divides h and q=p^h. Furthermore, if the intersection has p^e+1 points, then it is a subline over GF(p^e). We proved that a small minimal t-fold blocking set intersects every line in t modulo p points, where p is the characteristics. For even q-s we proved a stability theorem for sets of even type in PG(2,q). The result is sharp when q is a square, and it generalizes a famous embeddability theorem for arcs, due to B. Segre. We also proved that the GQ Q(4,q) does not have maximal partial ovoids of size q^2-1.

Item Type: Monograph (Project Report)
Uncontrolled Keywords: Matematika
Subjects: Q Science / természettudomány > QA Mathematics / matematika
Depositing User: Mr. Andras Holl
Date Deposited: 08 May 2009 11:00
Last Modified: 30 Nov 2010 19:10
URI: http://real.mtak.hu/id/eprint/1214

Actions (login required)

View Item View Item