Repository of the Academy's Library

Kódelmélet és környéke = Coding theory and its neighbourhood

Szőnyi, Tamás and Gács, András and Sziklai, Péter and Weiner, Zsuzsanna (2009) Kódelmélet és környéke = Coding theory and its neighbourhood. Project Report. OTKA.

[img]
Preview
PDF
49662_ZJ1.pdf

Download (85Kb)

Abstract

Kódelméletben hasznos véges projektív terek speciális egyenes-, illetve hipersíkmetszetű ponthalmazainak vizsgálata. Egyes cikkeinknek közvetlen kódelméleti alkalmazása van (itt ezeket soroljuk), mások geometriai ill. algebrai szálakkal kapcsolódnak oda. A polinomos módszer alkalmazásával bebizonyítottuk, hogy PG(2,q) egy olyan ponthalmaza, melyet minden egyenes adott r mod p pontban metsz, legalább (r-1)q+(p-1)r pontú kell legyen, ahol p a karakterisztika, r|q. Következésképp egy 3 dimenziós kód,melynek hossza és súlyai is oszthatók r-rel és minimális távolsága legalább 3, legalább (r-1)q+(p-1)r hosszú kell legyen. Ball, Blokhuis és Mazzocca híres, maximális ívek nemlétezéséről szóló tétele is egyszerűen kijön a tételből. Meghatároztuk két fontos poset, D^{k,n} és B_{m,n} automorfizmus-csoportját.A kérdéskör az insertion-deletion kódokhoz kapcsolódik. A B_{m,n} struktúra automorfizmus-csoportja korábban is ismert volt, de a hosszú bizonyítást 1 oldalasra redukáltuk. Megfogalmaztunk egy sejtést algebrai síkgörbék pontjainak számáról: n-edfokú, lineáris komponens nélküli görbének legfeljebb (n-1)q+1 pontja lehet; (n-1)q+n/2-t sikerült igazolni. Ilyen görbék hatékony kódokat adnak. Bebizonyítottuk, hogy ha egy lineáris [n,k,d]_q kód kiterjeszthető nem feltétlenül lineáris [n+1,k,d+1]_q kóddá, akkor a kiterjesztést lineáris módon is meg lehet csinálni. Eredményünk kiterjesztéséből pedig az következhetne,hogy az MDS sejtés lineáris és tetszőleges kódokra ekvivalens. | In coding theory, it is useful to study point sets of finite projective spaces with special intersection multiplicities with respect to lines and hyperplanes. Some of our papers have immediate application in coding theory (here we list those), the others are linked by its geometrical or algebraical concept. Using polynomial method, we proved that point sets of PG(n,q) intersecting each hyperplane in r mod p points have at least (r-1)q+(p-1)r points, where p is the characteristic and r|q. Hence a linear code whose length and weight are divisible by r and whose dual minimum distance is at least 3, has length at least (r-1)q+(p-1)r. Now the famous Ball-Blokhuis-Mazzocca theorem on the non-existence of maximal arcs becomes a corollary of this result. We determined the automorphism group of two important posets D^{k,n} and B_{m,n}. It was already known for B_{m,n}, but we shortened its long proof to 1 page. This topic is related to insertion-deletion codes. We conjecture that an algebraic plane curve of degree n without linear components can have at most (n-1)q+1 points, we showed that it is at most (n-1)q+n/2. Such curves give efficient codes. We proved that if a linear [n,k,d]_q code can be extended to a not necessarily linear[n+1,k,d+1]_q code then it can be done also in a linear way. From an extension of our results it would follow that the MDS-conjecture is equivalent for linear and arbirtary codes.

Item Type: Monograph (Project Report)
Uncontrolled Keywords: Matematika
Subjects: Q Science / természettudomány > QA Mathematics / matematika
Depositing User: Mr. Andras Holl
Date Deposited: 07 Sep 2010 14:30
Last Modified: 30 Nov 2010 13:02
URI: http://real.mtak.hu/id/eprint/2437

Actions (login required)

View Item View Item