Elmélet és alkalmazás a matematikai analízisben = Theory and applications in mathematical analysis

Matolcsi, Máté (2009) Elmélet és alkalmazás a matematikai analízisben = Theory and applications in mathematical analysis. Project Report. OTKA.

Preview

PDF 64061_ZJ1.pdf Download (93kB)

Abstract

A kutatási tervnek megfelelően több területen is sikerült eredményeket elérni: Fourier analízissel kapcsolatos problémákban a Fugelde sejtésre adott ellenpéldák dimenzioját 3-ra csökkentettük mindkét irányban, valamint hatékony algoritmust adtunk ciklikus csoporotok nem-periodikus parkettázásainak megkeresésére. (A parkettázási eredmények hatására kezdtem kutatni összeghalmazok számossági és strukturális kérdéseit, és itt is született néhány kezdeti eredmény.) Ezen kívül tanulmányoztuk a pozitív, pozitív definit függvények kúpjának extremálisait, valamint egy síkbefedési problémát rácsszerű halmaz elforgatottjaival. Komplex Hadamard mátrixok és MUB-hármasok új családjait adtuk meg, valamint egy ígéretes diszkretizációs módszert a MUB-6 probléma jövőbeni megoldására. Ez a nevezetes nyitott problema azt kérdezi, hogy legfeljebb hány kölcsönösen torzítatlan bázis (MUB) adható meg komplex 6 dimenzióban. Ezeknek a kérdéseknek kvantum-információelméletbeli gyökerei vannak. Megvizsgáltuk a relativisztikus Thomas-rotácio jelenségét, valamint a GPS-ben használt közelítő képlet helyett pontos formulát mutattunk a Föld bázisú és a GPS-szatelliteken levő órak időmérésének differenciál hányadosára. (Ez utóbbinak csak elméleti jelentősége van, mert a közelítő formula már eddig is elég pontos volt gyakorlati szempontból.) A pozitív realizációs témakörben általános és hatékony algoritmust adtunk az összes felmerülő transzfer függvény pozitív realizálására. | According to the work-plan we have had results in various areas: In problems related to Fourier analysis we decreased the dimension of the counterexamples to Fuglede's conjecture in both direction to 3. We gave an efficient algorithm to find all non-periodic tilings of cyclic groups. (Tiling results inspired me to research structural questions of sumsets, and there have been some initial results too.) Besides this, we examined the extremal rays of the cone of positive, positive definite functions, and a covering problem of the plane with rotations of a lattice-like set. We presented new families of complex Hadamard matrices and MUB-triplets, and gave a promising discretization scheme to solve the MUB-6 problem in the future. The latter famous open problem is to find the maximal number of mutually unbiased bases (MUBs) in the complex space of dimension 6. These problems have their origin in quantum-information theory. We have given a precise mathematical description of the relativistic phenomenon of Thomas rotation, and gave an exact relation of the time-rate of Earth-based clocks and satellite clocks used in the GPS. (I remark here that this result is mainly of theoretical value, as the approximate formula being currently used in the GPS is good enough for practical purposes.) We gave an efficient general algorithm for positive realization of all transfer functions considered in the literature.

Actions (login required)

Edit Item