Algebrai geometria és határterületei = Algebraic Geometry and Its Neighbouring Fields

Szamuely, Tamás and Domokos, Mátyás and Frenkel, Peter and Küronya, Alex and Némethi, András and Stipsicz, András and Szabó, Endre and Szendroi, Balázs and Szilárd, Ágnes (2011) Algebrai geometria és határterületei = Algebraic Geometry and Its Neighbouring Fields. Project Report. OTKA.

Preview

PDF 61116_ZJ1.pdf Download (150kB) | Preview

Abstract

A kutatás a pályázatban vázolt interdiszciplináris jellegnek megfelelően a szigorúan vett algebrai geometriai problematikát és módszereket ötvözte más területek technikáival. Különösen jelentős eredmények születtek a szingularitás-elméletben, ahol topológiai módszereket is használtunk, a számelmélet inspirálta aritmetikai geometriai kérdések terén, illetve az algebrai csoporthatások és invariánsaik vizsgálatában. A szingularitás-elmélet területén több új mutéti formulát bizonyítottunk. Egyikük segítségével sikerült igazolni a Seiberg--Witten invariáns-sejtést és a Neumann-Wahl-sejtést ún. `splice típusú' szingularitásokra. Leírtuk továbbá nemizolált komplex felület-szingularitások Milnor-fibrumának határát műtéti diagram formájában. Előrehaladást értünk el a racionális irreducibilis komplex algebrai görbék topológiai osztályozásában. Az aritmetikai geometria területén egy több mint 25 éve nyitott kérdést sikerült megválaszolnunk a szemi-Abel-varietások homogén tereinek racionális pontjaira vonatkozó lokális-globális elvet illetően, és előrehaladást értünk el Grothendieck híres szelés-sejtése felé. Az invariánselméletben komplex tükrözéscsoportok egy osztályára megadtuk a számos vektor-változótól függő polinom-invariánsok algebrájának egy véges prezentációját explicit generátorokkal és relációkkal. | Following the interdisciplinary character outlined in our proposal, in our research we have combined problems and methods in algebraic geometry with techniques from neighbouring fields. We have achieved particularly important results in singularity theory where we have also used topological methods, on questions inspired by number theory and in the study of algebraic group actions and their invariants. In singularity theory we have established several new surgery formulas. We have used one of them to prove the Seiberg-Witten invariant conjecture and the Neumann-Wahl conjecture for singularities of splice type. We have described the boundary of the Milnor fiber of a non-isolated complex surface singularity by means of plumbing diagrams. We have also achieved progress in the topological classification of rational complex algebraic plane curves. In arithmetic geometry we have managed to answer a question that has been open for more than 25 years concerning the local-global principle for rational points on homogeneous spaces of semi-abelian varieties. We have also made progress towards Grothendieck's Section Conjecture. In invariant theory we have given a finite presentation with explicit generators and relations for the algebra of polynomial invariants in many variables of certain complex reflection groups.

Actions (login required)

Edit Item