Hiperbolikus dinamikai rendszerek sztochasztikus tulajdonságai = Stochastic properties of hyperbolic dynamical systems

Tóth, Imre Péter (2011) Hiperbolikus dinamikai rendszerek sztochasztikus tulajdonságai = Stochastic properties of hyperbolic dynamical systems. Project Report. OTKA.

Preview

PDF 73609_ZJ1.pdf Download (110kB) | Preview

Abstract

A projektet eredetileg 36 hónapra terveztük, de 12 hónap után egy külföldi post-doc pozíció miatt meg kellett szakítani. Emiatt az eredmények részlegesek. Konstruáltunk egy konkrét 3-dimenziós véges horizontú szóró biliárdot amiben a szingularitási szerkezet exponenciális komplexitása szigorúan bebizonyítható. Két dimenzióban bebizonyítottam, hogy tipikus sima görbékkel határolt szórótestek esetén a komplexitás korlátos. Randomizált itarációs algoritmusok megbízhatóságát vizsgáltuk hiperbolikus rendszerek számítógépes szimulációjában, empirikusan. Azt találtuk, hogy nagyon kicsi perturbációk alkalmazása esetén a szimuláció jobban tükrözi a rendszer ergodikus tulajdonságait, miközben a számolt invariáns mérték pontossága alig romlik. Olyan hővezetés-modellt vizsgáltam, amiben lokalizált biliárd korongok hatnak kölcsön konzervatív erők révén. A gyenge csatolás határesetben egy kölcsönható részecskerendszert sikerült leírni. Ennek a rendszernek a hidrodinamikai limeszét, vele a hővezetési együttható hőmérsékletfüggését sikerült meghatározni szigorú, heurisztikus és numerikus eszközök egy keverékével. A kapott eredmény meglepően realisztikus. Ez komoly eredmény egy nemzetközi érdeklődéssel kísért területen. Vizsgáltuk a preferenciális kapcsolódás modell szerint növekedő véletlen fák szerkezetét hosszú idő után leíró véletlen mértéket. Bebizonyítottuk, hogy a mérték Hausdorff-dimenziója majdnem biztosan konstans. Erre explicit formulát is adtunk. | This project was originally planned for 36 months, but it had to be terminated after 12 months due to a post-doc position abroad. As a consequence, results are partial. We constructed a specific 3-dimensional finite horizon dispersing billiard where exponential complexity of the singularity structure can be rigorously proven. I have proven that in two dimensions the complexity is bounded for a typical smoouth scatterer curves. The usability of randomized iteration algorithms in the computer simulation of hyperbolic systems was studied empirically. We found that using very small perturbations results in the ergodic properties of the system being better reflected, while causing little loss in the accuracy of the calculated invariant measures. I studied a heat conduction model with localized billiard disks interacting via conservative forces. An interacting particle system was found in the weak coupling limit. The hydrodynamic limit of this system, including the temperature dependence of the heat conductivity was established through a mixture of rigorous, heuristic and numerical methods, giving surprisingly realistic results. This is a serious achievement in an area that is in the center of international attention. We studied the random measure desribing the long-time structure of the growing tree in preferential attachment models. The Hausdorff dimension was proven to be constant almost surely. An explicit formula was also given.

Actions (login required)

Edit Item