Egy általános módszer függvényegyenletek néhány osztályának megoldására, I.

Vincze, Endre (1966) Egy általános módszer függvényegyenletek néhány osztályának megoldására, I. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 16 (2). pp. 179-208.

Preview

Text cut_MATFIZ_16_2_1966_pp179_-_208.pdf - Published Version Download (1MB) | Preview

Abstract

Az értekezés bevezető részében mindenekelőtt célkitűzéseinket, a megoldandó problémákat és azok előzményeit kívánjuk vázolni. A függvényegyenletek ma már eléggé nagy, de még mindig csak kialakulóban levő elméletében viszonylag kevés olyan általános megoldási módszer ismeretes, mellyel az egyenleteknek nagyobb osztálya is minden (legalábbis elvi) nehézség nélkül megoldható. E téren elsősorban magyar szerzők munkái emelendők ki, nevezetesen ACZÉL J. [2] eredményei számos egyváltozós additív típusú függvényegyenlet-osztály megoldására vonatkozóan, Hosszú M. több algebrai vizsgálata a többváltozós függvényegyenletekkel kapcsolatosan, s Fenyő I. [22], [23] eredményei, aki a disztribúció-elmélet felhasználásával old meg függvényegyenleteket. A legújabb vizsgálatok közös jellemzője a nagymértékű általánosságra és a megoldásoknál használt feltételek enyhítésére való törekvés. Hasonló elgondolás jegyében készült ez az értekezés is. Egy olyan általános megoldási módszert kívánunk bemutatni, mellyel elsősorban az (A) F(x + y) = ⁿ∑ᵢ₌₁ Gᵢ(x)Hᵢ(y), (B) F(x + y) + G(x - y) = ⁿ∑ᵢ₌₁ Hᵢ(x)Kᵢ(y) (C) F(x + y) = ⁿ∑ᵢ₌₁ Gᵢ(x)Hᵢ(y) ∣ ᵐ∑ⱼ₌₁ Kⱼ(x)Lⱼ(y) típusú függvényegyenletek (egymástól függetlenül értendő!), vagy ilyen egyenletekből álló függvényegyenlet-rendszerek oldhatók meg minden elvi nehézség nélkül; a megoldásnál használt feltételekről a vonatkozó helyen részletesen szólunk. A (B) és (C) típusú függvényegyenlet-osztályok bizonyos feltételek teljesülése esetén (A)-t is tartalmazzák. Magának a módszernek közvetlen előzménye nincsen, noha a felsorolt (A)—(C) egyenlet-típusok számos speciális esetét „egyedenként" igen sokan és részletesen vizsgálták. Ki fog derülni, hogy ezek az egyenletek, az eddigieknél lényegesen általánosabb feltételek mellett, szinte teljesen „mechanikusan" oldhatók meg az általunk „determinánsos módszer"-nok nevezett eljárással. Az elnevezést az indokolja, hogy a megoldási eljárásban alapvetően fontos szerep jut az egyenletekben szereplő függvényekből felépített függvénydeterminánsoknak. Egy megoldási módszert elsősorban „példákon" keresztül lehet bemutatni, ezért mi is, kiválasztva a felsorolt típusokba tartozó legfontosabb és gyakran felbukkanó eseteket, először e speciális egyenleteken demonstráljuk e módszer teljesítőképességét, a későbbiekben pedig részletesen szólunk az általános esetről is. Noha, mint már utaltunk rá, a nyert eredmények általánosabbak számos eddigi vizsgálatnál, a hangsúlyt mégis a megoldási eljárásra kívánjuk helyezni. Véleményünk szerint a függvényegyenletek elméletét ill. a függvényegyenletek alkalmazhatóságának kiszélesítését éppen a konkrét megoldási eljárások mozdíthatják elő, bár nem tagadjuk, hogy az egyes „egyedi" esetekre alkalmazott „ad-hoc" módszerek ill. fogások is célravezetőek, sőt olykor rövidebbek és „tetszetősebbek" is lehetnek. E megoldási módszernél gyakorlati nehézség olyankor lép fel, amikor a megoldandó egyenlet sok ismeretlen függvényt tartalmaz, s a megoldásnál szükségessé váló esetszétválasztások száma is rohamosan emelkedik. F.z azonban a dolog természetéből jön, hisz az ilyen egyenleteknek általában több olyan megoldásrendszere van, melyek egymástól lényegesen különböznek (egymásnak nem speciális esetei), mint amennyi ismeretlen függvény az egyenletben szerepel. Ahol csak lehetett, s ez a terjedelmet nem növelte lényegesen, a lehető legáltalánosabb feltételek mellett mutatjuk be e megoldási módszert. Ki fog derülni, hogy a felsorolt (A)—(C) egyenletek megoldásainál elegendő olyan algebrai természetű megszorításokat tennünk a szereplő függvények „értelmezési tartományára" ill. „értékkészletére" vonatkozóan, melyek csupán ezek algebrai struktúráját határozzák meg, s e struktúrákban érvényes (lényegében) elemi műveletek segítségével a megoldás már elintézhető. Minden további megszorító feltevés felesleges és csak elterelheti a figyelmet az egyenletekben szereplő függvényeket már meghatározó legfontosabb tulajdonságokról. Az értekezésben, anélkül hogy erre a későbbiekben esetenként hivatkoznánk, felhasználtam ezzel kapcsolatos néhány dolgozatom eredményeit (vő. [70]—[76]), de itt több helyen is, az előzetesen publikált tételek lényegesen általánosabb ill. egyszerűbb formában kerülnek bizonyításra. Az egyes paragrafusok elején részletesen felsoroljuk a tárgyalt problémakör előzményeit, de a felsorolt eredményekre általában nem támaszkodunk.

Actions (login required)

Edit Item