Egy megfigyeléssorozat kiemelkedő elemeiről

Rényi, Alfréd (1962) Egy megfigyeléssorozat kiemelkedő elemeiről. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 12 (1). pp. 105-121.

Preview

Text cut_MATFIZ_12_2_1962_pp105_-_121.pdf Download (783kB) | Preview

Abstract

Végezzünk független megfigyeléseket egy véletlentől függő mennyiségre vonatkozólag. Legyen ξₖ (k = 1, 2, ...) a k-adik megfigyelés. Más szóval tegyük fel, hogy a ξ₁, ξ₂, ... valószínűségi változók függetlenek és egyforma eloszlásúak. Közös eloszlásfüggvényüket jelölje F(x). Tegyük fel, hogy F(x) x minden értékére folytonos (vagyis, hogy a ξₖ változók minden x valós értéket 0 valószínűséggel vesznek fel). Más szóval: vegyünk egy végtelen mintát egy folytonos eloszlású sokaságból és legyen ξₖ minta k-adik eleme. Nevezzük a ξₖ megfigyelést a megfigyeléssorozat kiemelkedő elemének, ha ξₖ > ξⱼ midőn j < k. Más szóval kiemelkedőnek nevezünk egy megfigyelést, ha az az összes megelőző megfigyeléseknél nagyobb. E definíció szerint ξ₁ mindig (triviálisan) kiemelkedő. Legyen v₀ = l; jelölje v₁ az első 1-nél nagyobb sorszámú (tehát az első nem triviális) kiemelkedő megfigyelés sorszámát, v₂ az első v₁-nél nagyobb (tehát a második nemtriviális) kiemelkedő elem sorszáma és általában jelölje vₙ az n-edik nemtriviális kiemelkedő elem sorszámát (n = 1, 2, 3, ...). E dolgozat tárgyát a vₙ valószínűségi változókra vonatkozó határérték- és határeloszlástételek vizsgálata képezi. Mielőtt a vₙ (n = 1, 2, 3, ...) valószínűségi változó-sorozatra vonatkozó tételeket kimondanók, néhány általános jellegű megállapítást kívánunk tenni. Először is nyilvánvaló, hogy a vₙ változók viselkedése nem függhet az F(x) eloszlásfüggvénytől. Ugyanis, ha ξᵥₙ a ξₖ sorozatnak n-edik kiemelkedő eleme, akkor F(ξᵥₙ) az F(ξₖ) sorozatnak ugyancsak n-edik kiemelkedő eleme. Mivel azonban az F(ξₖ) (k = 1, 2, ...) változók egyenletes eloszlásúak a (0, 1) intervallumban, tehát a ξₖ változókról az általánosság megszorítása nélkül eleve feltehetjük, hogy azok egyenletes eloszlásúak a (0, 1) intervallumban. Az ezen feltevés mellett a vₙ változókra bebizonyított határeloszlástételek e feltevés nélkül is érvényesek lesznek az F(x) folytonos eloszlásfüggvény bármely választása mellett. A vₙ változó sorozat tulajdonságai tehát „eloszlásmentesek". Ebből következik, hogy minden olyan statisztikai próba, amely a vₙ változók megfigyelésén alapszik, szintén „eloszlásmentes" lesz. Az egész problémakör rokon a rendezett minták elméletével; a rendezett minták elméletének szokásos problematikájától azonban elsősorban abban térünk el, hogy egy végtelen megfigyeléssorozatból indulunk ki. Az 1. §-ban a vₙ változók közötti függőséget vizsgáljuk, és kimutatjuk, hogy a vₙ változók homogén Markov-láncot alkotnak. A 2. §-ban meghatározzuk annak valószínűségét, hogy a ξₖ sorozat első N eleme között megadott számú kiemelkedő elem legyen. A 3. §-ban bebizonyítjuk azt a meglepő tényt, hogy ha Aₖ jelöli azt az eseményt, hogy a ξₖ e1e m kiemelkedő, akkor az Aₖ (k = 1, 2, 3, ...) események teljesen függetlenek (annak ellenére, hogy Aₖ a ξ₁, ξ₂, ..., ξₖ változók mindegyikétől függ). Ez a tény alkotja az alapját az összes további vizsgálatainknak. E tényből az 1. és 2. §. eredményeire is adódik egy újabb bizonyítás. Bebizonyítjuk, hogy 1 valószínűséggel ₙ→∞lim ⁿ√vₙ = e; ez felfogható, mint a nagy számok erős törvénye a log vₙ / vₙ₋₁ gyengén függő változókra vonatkozólag. Az 5. §-ban bebizonyítjuk, hogy log vₙ határértékben normális eloszlású n várható értékkel és √n szórással; ez felfogható mint a log vₙ / vₙ₋₁ gyengén függő változókra vonatkozó centrális határeloszlástétel. A 6. § a vₙ változókra vonatkozó iterált logaritmus tétellel foglalkozik, míg a 7. §-ban bizonyos, a vₙ változók és permutációk ciklusok szorzatakénti előállítása közötti érdekes összefüggésekre mutatunk rá. Végül a 8. §-ban a vₙ változók és a valós számok módosított Engel-féle sorral történő előállítása közötti meglepő összefüggést vizsgáljuk.

Actions (login required)

Edit Item