Az absztrakt függőségi reláció és ekvivalensei

Szodoray, Erzsébet (1962) Az absztrakt függőségi reláció és ekvivalensei. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 12 (4). pp. 317-324.

Preview

Text cut_MATFIZ_12_4_1962_pp317_-_324.pdf Download (520kB) | Preview

Abstract

A matematika különböző területein fellépő függőségi relációk számos közös tulajdonságot mutatnak. E közös jelenségek absztrahálása hozta létre a tetszőleges halmazon értelmezett függőségi reláció fogalmát. Ez a fogalom nem új: az axiómarendszerrel értelmezett függőség már Van Der Waerden klasszikussá vált „Moderne Algebra" című könyvében megtalálható (lásd [5], § 36.). Nem sokkal [5] első kiadásának megjelenése után 1935-ben látott napvilágot H. Whitney [6] dolgozata, amely Van Der Waerden felfogásának megfelelően axiomatikusán értelmezi az absztrakt függetlenség, bázis és rang fogalmát (véges halmazt véve alapul), továbbá kimutatja ezek ekvivalenciáját. A Whitney-féle rangfüggvény fogalmát R. Rado átviszi végtelen halmazokra és bebizonyítja az invariancia-tételt [4]. A függőség fogalmát tetszőleges számosságú halmazok esetében M. N. Bleicher és G. B. Preston [1], továbbá Kertész Andor [2] dolgozata vizsgálja. Mindkét dolgozat kimutatja (különböző módszerekkel) az invariáncia-tételt, amely ebben az esetben azt jelenti, hogy bármely két maximális független elemrendszer számossága megegyezik. Emellett [1] bebizonyítja a függőség és függetlenség, [2] pedig a függőség és rangfüggvény fogalmának ekvivalenciáját. Mindezidáig nem szerepelt az irodalomban a bázis absztrakt fogalmának végtelen halmazok esetére való kiterjesztése. A jelen dolgozat célja a bázis fogalmának tetszőleges halmazon való axiomatikus értelmezése, s annak kimutatása, hogy az így értelmezett fogalom a függőség, függetlenség és rangfüggvény fogalmával ekvivalens. Az [1] és [2] dolgozatok alapján természetesen elegendő volna az ekvivalenciát ezek bármelyikével »kimutatni, mi azonban itt a teljesség kedvéért mind a négy axiómarendszert ismertetjük, s ciklikus bizonyítást adunk azok ekvivalenciájára.

Actions (login required)

Edit Item