Az egységelemes félcsoportok néhány jellemzése

Lajos, Sándor and Szép, Jenő (1965) Az egységelemes félcsoportok néhány jellemzése. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 15 (1). pp. 29-32.

Preview

Text cut_MATFIZ_15_1_1965_pp29_-_32.pdf - Published Version Download (199kB) | Preview

Abstract

Egy nem üres S halmazt félcsoportnak nevezünk, ha zárt egy az elemeire értelmezett kétváltozós, asszociatív műveletre nézve. Ebben a dolgozatban multiplikatív írásmódot alkalmazunk, vagyis a félcsoportban értelmezett műveletet szorzásnak nevezzük. Az S félcsoport e elemét a félcsoport bal oldali egységelemének nevezzük, ha az ea=a összefüggés fennáll az S-nek valamennyi a elemére. Hasonló módon értelmezzük a félcsoport jobb oldali egységelemét. Ha az e elem egyszerre bal és jobb oldali egységeleme a S félcsoportnak, akkor a félcsoport kétoldali egységelemének nevezzük. Ha egy félcsoportnak van kétoldali egységeleme, akkor csak egy van. Az S félcsoport a elemét a félcsoport balegységének nevezzük, ha kielégíti az (1) aS = S feltételt. Analóg módon értelmezhető' a félcsoport jobbegysége. Ha a félcsoport valamely eleme egyszerre bal- és jobbegysége a félcsoportnak, akkor kétoldali egységnek nevezzük. Egy félcsoportnak több különböző balegysége is lehet. Rédei László mutatott példát olyan félcsoportra, amelynek nincsen bal oldali egységeleme, de van balegysége (l. [5]). Ebben a dolgozatban azzal a Vincze Endre által felvetett kérdéssel foglalkozunk, hogy bal- és jobbegységet tartalmazó félcsoport milyen további feltétel teljesülése esetén lesz egységelemes félcsoport. Megmutatjuk, hogy ha egy félcsoportnak van kétoldali egysége, akkor a félcsoport egységelemes. Bebizonyítjuk, hogy egy véges félcsoport akkor és csakis akkor egységelemes, ha van legalább egy bal- és legalább egy jobbegysége. Ugyanilyen szükséges és elégséges feltételnek kell teljesülnie ahhoz, hogy egy reguláris félcsoport egységelemes legyen. Végül megmutatjuk, hogy ha egy félcsoportnak van olyan balegysége, amely nem balnövelő elem, és van olyan jobbegysége, amely nem jobbnövelő elem, akkor a félcsoport tartalmaz kétoldali egységelemet. Az S félcsoport x elemét baloldali növelő (vagy röviden balnövelő) elemnek nevezzük, ha az S félcsoportnak van olyan T valódi részhalmaza, amelyre fennáll az xT=S összefüggés. Hasonló a jobb oldali növelő elem definíciója. A növelő elem fogalmát E. Sz. Ljapin [2] vezette be, s megmutatta, hogy csoportnak, kommutatív, véges, ill. reguláris félcsoportnak nincsen sem bal-, sem jobbnövelő eleme. A dolgozatban nem definiált fogalmakra nézve Rédei [4] könyvére utalunk. A félcsoportok algebrai elméletének összefoglalása Clifford és Preston [1], valamint Ljapin [3] könyvében található.

Actions (login required)

Edit Item