Véletlen elhelyezési problémákról

Dobó, Andor and Szajcz, Sándor (1965) Véletlen elhelyezési problémákról. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 15 (4). pp. 389-409.

Preview

Text cut_MATFIZ_15_4_1965_pp389_-_409.pdf - Published Version Download (951kB) | Preview

Abstract

Véletlen elhelyezési problémák számos gyakorlati és elméleti területen felmerülnek. A kérdéskör gyakorlati jelentősége megtalálható például szemcsés anyagok szállítási és raktározási problémáinál, földművelésnél stb. A véletlen elhelyezési problémák az utóbbi időben az elméleti fizikában is jelentős módon a kutatás tárgyát képezték. (Folyadékok strukturális felépítésének vizsgálata, részecskék ütközése által okozott energiaveszteség vizsgálata stb.) A véletlen elhelyezési problémák matematikai tárgyalása általában igen nehéz, konkrét eredmények mindmáig csak néhány speciális esetben ismeretesek. Ilyen speciális eset található pl. RÉNYI ALFRÉD [1] alatti dolgozatában. RÉNYI A. a J. Bernal és W. Schmetterer felvetette problémakörből a Schmetterer-féle feladat egydimenziós analogonját oldotta meg, mely a következőképpen szól: A (0, x) intervallumra véletlenszerűen ráhelyezünk egységnyi hosszúságú szakaszokat úgy, hogy azoknak ne legyen egymással közös pontjuk. Az elhelyezést addig folytatjuk, míg a szabad helyek közül a legnagyobb hossza sem haladja meg az egységet. Meghatározandó az ily módon elhelyezhető szakaszok összhosszának (számának) várható értéke. Ezt a mennyiséget M(x)-szel jelölve, a szerző azt az eredményt kapta, hogy M(x) = Cx - (1 - C) + o(1/xˢ), ahol c = ₀∫∞ exp(-2 ₀∫ᵗ 1 - e⁻ᵘ/u du)dt = 0,748... n pedig tetszőleges nagy szám. Ennek a feladatnak síkbeli analogonját vizsgálta Palásti Ilona [2] alatti munkájában. Bánkövi György és Dobó Andor a [3] alatti dolgozatukban olyan egydimenziós problémákkal foglalkoztak, melyeknél a szakaszoknak nemcsak elhelyezése, hanem hossza is a véletlentől függ. (Az általuk vizsgált modell speciális esetként tartalmazza a Rényi által vizsgált modellt.) Lényegében Bánkövi Gy. és Dobó A. által vizsgált modellt tárgyalja P. E. Ney is [4] dolgozatában, azzal a különbséggel, hogy NEY a magasabb momentumokat is vizsgálja. A tárgyalt modellt N. G. DE Bruijn észrevétele alapján [1] és [3] a parkolási probléma modelljének tekinti. P. E. Ney modelljének az alábbi fizikai problémát felelteti meg: Egy X energiájú részecske (itt x megfelel az intervallum hosszának) ütközést szenved, és x₁, illetve x₂ energiájú részecskére bomlik. Az elhelyezendő szakasz hosszának az ütközésnél fellépő energiaveszteség felel meg, míg a fedetlenül maradt intervallum továbbra is az elbomlott részecskék energiáját reprezentálja. Feltételezhető, hogy egy bizonyos energiánál kevesebb energiával rendelkező részecske már nem bomlik el, s így végső fokon az egydimenziós térkitöltés hosszának várható értéke az energiaveszteség várható értékének felel meg. A teljesség kedvéért megemlítjük, hogy az [1]-ben vizsgált feladatot M. S. Klamkin (Avco), D. J. Newman (Brown University) és L. Shepp (Princeton. University) neve alatt „parkolási probléma" címen a Siam Review 1960. júliusi száma megoldandó feladatként kitűzte. A Siam Review 1962. júliusi száma közli Alan G. Konheim (I. В. M.) és Leopold Flatto (Reeves Instrumentation Corp.) megoldását. Ezt követően a szerkesztőség megjegyzi, hogy mivel a problémát harmadkézből kapták, megpróbálták lenyomozni az eredetét. Ez a publikálás előtt azonban nem sikerült. Később H. Robbins (Stanford University) értesítette őket, hogy a problémát C. Derman és M. Klein-től kapta (Columbia University) 1957-ben, és 1958-ban A. Dvoretzky-vel (Hebrew University Jerusalem) együtt bebizonyította, hogy M(x) = Cx - (1 - C) + o(x⁻ⁿ). Vizsgálataik eredményeit közölni akarták, de nem tették, mivel őket megelőzően — tőlük függetlenül — Rényi A. hasonló eredményeket már publikált [l]-ben. Megjegyezték továbbá, hogy ugyanezen eredményt bizonyította P. E. Ney bölcsészdoktori disszertációjában a Columbia Egyetemen. T. Dalenius (University of California. Berkeley) is küldött értesítést Rényi publikációjára vonatkozóan. A szerkesztőség azt is megemlíti, hogy Rényi A. dolgozatának összefoglalóját névtelenül beküldték a National Bureau of Standard-től. Az eddig felsorolt személyeken kívül az [1]-ben ismertetett problémát egymástól függetlenül — megoldotta még Амбарцумян, P. [5], J. S. Griffiths [6] és L J. Smalley [7]. Az [l]-ben tárgyalt eset problémaköréhez tartozó vizsgálatokat tartalmaz Bánkövi Gy. [8], D. Mannion (University of Cambridge) [9], valamint A. Dvoretzky és H. Robbins [10] dolgozata. Az itt ismertetett problémákat Rényi A. „véletlen térkitöltési problémák" néven foglalta össze. A jelen dolgozatban többnyire „véletlen térlefedési problémákkal" fogunk foglalkozni. Ezen problémák tárgyalásai az előbbiekkel szemben esetenként azért nehezebbek, mert a vizsgált valószínűségi változó jellemzőjének (pl. a várható értéknek) létezését külön is bizonyítani kell. (Az [l]-ben tárgyalt feladatnál pl. a várható érték nyilván létezik, mivel a szakaszok összhossza korlátos.) Az általunk tárgyalt esetekben egydimenziós kétszeresen véletlen elhelyezési kérdéseket vizsgálunk. Az 1. §-ban az elhelyezési problémakör egy viszonylag általános matematikai megfogalmazását adjuk. Ebben a §-ban a kérdéskör áttekinthetősége végett bevezetünk néhány alapfogalmat is. A 2. §-ban két véletlen elhelyezési modellt, s velük kapcsolatos matematikai vizsgálatokat ismertetünk, miközben rámutatunk a kapott eredmények egy alkalmazási területére is. A 3. §-ban a véletlen elhelyezések kérdéskörének további vizsgálatával foglalkozunk. Ebben a §-ban többek között egy olyan általános modellt ismertetünk és vizsgálunk, mely speciális esetként tartalmazza a 2. §-ban bemutatott modelleket, illetve eredményeket is. A 4. §-ban az elhelyezési problémakör olyan irányú vizsgálataira mutatunk rá, amelynél a felvetett kérdések Takács Lajos által publikált eredmények ismerete alapján könnyen megválaszolhatók.

Actions (login required)

Edit Item