Körelhelyezések téglalapokon = Packing of Non-Overlapping Congruent Circles in Rectangles

Ruda, Mihály (1970) Körelhelyezések téglalapokon = Packing of Non-Overlapping Congruent Circles in Rectangles. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 19 (1-2). pp. 73-87.

Preview

Text cut_MATFIZ_19_1_-_2_1970_pp73_-_87.pdf Download (10MB) | Preview

Abstract

A diszkrét geometria egy klasszikus feladatköre alakzatok más alakzatokkal való kitöltésének a problémája. Ide tartozik például a sík kongruens körökkel való legsűrűbb kitöltése vagy a körelhelyezések a gömbfelületen. Felvethető bizonyos értelemben a fordított (és valamivel általánosabb) probléma is, nevezetesen az, hogy adott alakzatok bizonyos feltételeket kielégítő elrendezéséhez keresünk ezt az alakzatrendszert tartalmazó, adott típusú alakzatot, amelynek valamilyen jellemzője extremális. Ha ezek után vizsgáljuk az egyes elrendezésekhez tartozó extremális tartalmazó alakzatot, kérdezhető, hogy mely elrendezés mellett lesz ez az extremális érték extremális. A következőkben egymásba nem nyúló, egyenlő sugarú körök síkbeli elrendezéseit vizsgáljuk. Tartalmazó alakzatként téglalapokat szerepeltetünk. Az extremalitási kritérium a téglalapok területének minimalitása lesz. Másképpen fogalmazva: adott számú körhöz keresünk egy olyan téglalapot, mely az adott körökkel a lehető legsűrűbben tölthető ki. Be fogjuk bizonyítani, hogy ha a körök száma — a következőkben ezt n-nel jelöljük — nem nagyobb nyolcnál, akkor a legsűrűbb kitöltést adó elrendezéseknél a körök középpontjainak egy négyzetrácson kell elhelyezkedniük. Pontosabban fogalmazva: a körök középpontjai úgy helyezkednek el, hogy vagy bármely körközépponthoz található másik három, hogy az így adódó négy pont egy 2r oldalú négyzet csúcsait adja (r a körök sugara) és az összes ilyen négyzet egyesítése egy téglalap, melynek élei az eredeti (kitöltendő) téglalap éleinél 2r-rel rövidebbek (1. pl. 26c ábra), vagy valamennyi körközéppont egy 2r(n — 1) hosszúságú szakaszon van (1. pl. 26a ábra). A következőkben az ilyen elrendezéseket négyzetrácsos elrendezésnek nevezzük. Ezek után még néhány megjegyzést teszünk n nagyobb értékeivel kapcsolatban is.

Actions (login required)

Edit Item