Algebrai struktúrák kongruenciarelációiról

Schmidt, E. Tamás (1959) Algebrai struktúrák kongruenciarelációiról. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 9 (2). pp. 163-174.

Preview

Text cut_MATFIZ_9_2_1959_pp163_-_174.pdf Download (711kB) | Preview

Abstract

Mint ismeretes (lásd [11) egy tetszőleges A algebrai struktúra* θ, ϕ ... kongruenciarelációi a természetes részbenrendezésre nézve [θ ≦ ϕ akkor és csakis akkor teljesül, ha x ≡ y(θ) maga után vonja x ≡ y(ϕ)-t] komplett hálót alkotnak, melyet θ(A)-val jelölünk. Feladatunk θ(A) szerkezetének megismerése. Egy adott A struktúrából kiindulva annál könnyebb θ(A) vizsgálata, minél több kongruenciarelációja írható A-nak θa,b alakba. θa,b a legkisebb olyan kongruenciarelációt jelöli, melynél a ≡ b. A θa,b alakba írható kongruenciarelációkat minimálisnak nevezzük.) Ha például minden kongruenciareláció minimális, akkor nagyon szoros az adott A struktúra elemeinek és kongruenciareláció hálójának kapcsolata. Mivel minket vizsgálatainkban θ(A) szerkezete érdekel, ezért kézenfekvő gondolat az A struktúrát egy olyan S struktúrára kicserélni, hogy és izomorfok legyenek, s emellett S-nek a lehető legtöbb kongruenciarelációja legyen minimális. Hashimoto [3] egyik tétele szerint a minimális kongruenciarelációk szükségképp alulról elérhetetlenek. A dolgozat főeredménye ennek megfordítása: olyan S struktúrát konstruálunk, melyre θ(S) ≅ θ(A) és θ(S) minden alulról elérhetetlen eleme minimális. Ez a tétel első kísérlet, hogy teljesen általános algebrai struktúrákra vonatkozóan bizonyítási módszert nyújtson. Ezen módszer alkalmazására a dolgozat két példát tárgyal. Elsőként P. M. Whitman [6] egy nevezetes tételére ad új bizonyítást. Ezen tétel szerint minden véges háló beágyazható egy partíció hálóba. A módszer másik alkalmazása a Malcev által bevezetett részleges algebrai struktúrák, másnéven algebrai strukturoidok elméletében történik. Bebizonyítjuk, hogy minden véges háló izomorf valamely véges algebrai strukturoid kongruenciareláció hálójával.

Actions (login required)

Edit Item