A féligegyszerű gyűrűk jellemzéseiről

Kertész, Andor and Steinfeld, Ottó (1959) A féligegyszerű gyűrűk jellemzéseiről. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 9 (3). pp. 301-314.

Preview

Text cut_MATFIZ_9_3_1959_pp301_-_314.pdf Download (742kB) | Preview

Abstract

Az (asszociatív) gyűrűk elméletének egyik legfontosabb eredménye, az ún. Wedderburn—Artin-féle tétel teljesen leírja, pontosabban ferdetestekre vezeti vissza bizonyos nevezetes tulajdonságokkal bíró gyűrűk szerkezetét. E tétel jelentősége nemcsak abban áll, hogy a gyűrűelméletben aránylag kevés hasonló jellegű struktúra-tétel ismeretes, hanem abban is, hogy kiinduló pontja egy, az absztrakt algebra keretein is messze túlnövő törekvésnek, amely gyűrűk tágabb osztályait is lineáris transzformációk segítségével igyekszik leírni. A Wedderburn—Artin-féle tétel által jellemzett gyűrű-osztály az ún. félig-egyszerű gyűrűk osztálya. Féligegyszerűnek nevezünk egy olyan gyűrűt, amely nem tartalmaz 0-tól különböző nilpotens balideált, s amely balideáljaira nézve minimumkövetelménynek tesz eleget. A Wedderburn-féle klasszikus vizsgálatok óta számos olyan eredmény keletkezett, amely a féligegyszerű gyűrűket bizonyos tulajdonságokkal jellemzi. Ezek az eredmények egyre jobban kiemelték a féligegyszerű gyűrűk fontosságát, s azt mutatták, hogy a féligegyszerű gyűrű fogalma a ferdetest fogalmának olyan általánosítása, amely még rendelkezik a ferdetestek számos nevezetes tulajdonságával. Pl. a ferdetest feletti lineáris egyenletrendszerek elmélete érvényben marad akkor is, ha az egyenletek együtthatóit egy tetszőleges félig-egyszerű gyűrűből választjuk [5]. Ebben a dolgozatban a féligegyszerű gyűrűk különféle jellemzés0 közül eltekintünk azoktól, amelyek a féligegyszerű gyűrűket mint operátortartományokat jellemzik, tehát tisztán gyűrűelméleti jellemzésekkel foglalkozunk. Sőt ezek közül is kihagyjuk azokat, amelyek a lineáris egyenletrendszerek elméletével kapcsolatosak. (Ez utóbbiakra vonatkozóan bőséges anyagot lehet találni az [5] és [6] dolgozatokban.) Egy olyan tételt bizonyítunk be, amely tíz gyűrűelméleti tulajdonság ekvivalenciáját állítja. E tulajdonságok között van a féligegyszerű gyűrűk definíciója, s közös bennük az, hogy valamennyi az ideál, féloldali ideál és kváziideál fogalmát veszi alapul ; azt is mondhatjuk tehát, hogy a tétel a féligegyszerű gyűrűk ideálelméleti jellemzéseit tartalmazza. A tétel állítása magában foglalja a Wedderburn—Artin-féle tételt, a Noether-féle ún. alaptételt (lásd a (C) és (a) feltételeket a 3. §-ban, továbbá [13]-at és [1]-et, ill. [8]-at) és a féligegyszerű gyűrűk O. Goldmantól származó jellemzését (lásd (F)-et és [4]-et; erre vonatkozóan lásd még [3]-at). A tételben szereplő (F), (G), (I) és (J) feltételek ekvivalenciája a [7] dolgozat általánosabb vizsgálataiból következményként adódott. Az, hogy a (B), (D) ill. (H) feltételek a féligegyszerű gyűrűket jellemzik, új eredmény. Ennek közlésén kívül a dolgozat célja az, hogy a szóbanforgó tulajdonságokat egyetlen következtetésláncba foglalva mélyebb bepillantást nyújtson ezeknek egymáshoz való viszonyába. A tétel bizonyításában a lehető legnagyobb egyszerűségre törekedve a feltételek sorrendjét úgy igyekeztünk megállapítani, hogy a »ciklikus" bizonyításban egyik feltételből a másik minél természetesebben következzék.

Actions (login required)

Edit Item