Az egységgyökök multiplikatív csoportjáról

Szele, Tibor (1953) Az egységgyökök multiplikatív csoportjáról. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 3 (1). pp. 55-58.

Preview

Text cut_MATFIZ_3_1_1953_pp55_-_58.pdf - Published Version Download (270kB) | Preview

Abstract

Multiplikatív csoportnak nevezünk bármely olyan halmazt, amelyben értelmezve van egy szorzásnak nevezett, korlátlanul és egyértelműen végrehajtható asszociatív művelet úgy, hogy két tetszőleges elem szorzata mindig a halmaz eleme, és bármely két a, b elemhez van a halmazban olyan x, illetve x' elem, amelyre ax—=b,x'a — b. A definícióból könnyen következtethető, hogy bármely csoportban van pontosan egy olyan (az alábbiakban egységelemnek nevezett és félreérthetőség veszélye nélkül 1-gyel jelölt) elem, amelyet az a tulajdonsága jellemez, hogy \-a = a-\ --a a csoport bármely a eleme esetén, továbbá, hogy egy csoport mindegyik a eleméhez tartalmaz egy ű-val egyértelműen meghatározott olyan « 1 elemet, amelyre a = Ű-ŰT' = 1. Ezt az elemet az a elem inverzének szokás nevezni. A csoportban értelmezett szorzás bizonyos esetekben kommutatív. Ekkor a csoportot Abel-féle csoportnak hívják. Két csoportot izomorfnak- mondun^, ha kölcsönösen egyértelmű leképezés adható meg közöttük oly módon, hogy az egyik csoport két elemének szorzatához mindig az elemek képeinek szorzata van a másik csoportból képelemként hozzárendelve. A csoport elemeinek számosságát a csoport rendjének nevezzük. Ha a tetszőleges eleme egy csoportnak, akkor az a öszszes ak (k = 0, + 1, +2, ... ; a 1 ;a"' (a ')'") hatványaiból álló alcsoportot az a elem által generált ciklikus csoportnak nevezzük és {a}-val jelöljük. Az и elem rendjén az [a] csoport rendjét értjük. Ha a G csoport valamennyi eleme véges rendű, akkor G-t torziócsoportnak nevezzük. Torziócsoport lehet végtelen rendű is. Nevezetes példa ilyen csoportra az összes (komplex) egységgyökök E csoportja (a komplex számok között értelmezett közönséges szorzásra, mint csoportmfiveletre nézve). Az alábbiakban ennek az E csoportnak egy nevezetes jellemző tulajdonságával foglalkozunk.

Actions (login required)

Edit Item