Nem-aszimptotikus konfidencia-halmazok GARCH folyamatok QML becsléseihez

Csáji, Balázs Csanád (2015) Nem-aszimptotikus konfidencia-halmazok GARCH folyamatok QML becsléseihez. In: XXXI. Magyar Operációkutatási Konferencia, June 10-12., 2015, Cegléd, Hungary.

Text (Extended Abstract) CsBCs-MagyOpKut-2015.pdf - Other Restricted to Registered users only Download (136kB) | Request a copy

Abstract

GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) folyamatok széles körben elterjedtek a pénzügyi matematikában, pl. a volatilitás klaszterezettség (volatility clustering) modellezésére. Ezen nemlineáris idősor modellek egyik legelterjedtebb becslési módszere a QML (Quasi-Maximum Likelihood) becslés, amely gyenge feltételek mellett erősen konzisztens és aszimptotikusan Gauss eloszlású. Gyakran, a pontbecslések köré – mint amilyen a QML becslés is – megadott valószínűségű konfidenciatartományt is szeretnénk konstruálni, amelyek különösen fontosak, pl., kockázatkezelési vagy robosztus megközelítések számára. A tipikus módszer konfidencia-halmazok építésére, ha a becslés határeloszlását használjuk – ami Gauss a QML becslés esetén – és ennek segítségével definiálunk egy konfidencia-halmazt, amely tipikusan a becslés körül a határeloszlás skálázott inverz kovariancia-mátrixával definiált ellipszoid. Ezek azonban véges minták esetén csak közelítő megoldások, konfidencia valószínűségük nem garantált. Ebben az előadásban a nemrég kifejlesztett SPS (Sign-Perturbed Sums) algoritmus egy továbbfejlesztését mutatom be, amely képes nem-aszimptotikus, egzakt konfidencia valószínűséggel rendelkező, eloszlás-független konfidencia-halmazokat építeni GARCH folyamatok QML becslései köré, bármilyen megadott (racionális) valószínűséghez. Az említett SPS algoritmus ilyen konfidencia-halmazokat általános lineáris (dinamikus) rendszerekhez tud konstruálni, és a normálegyenletek előjel-perturbációján alapul, amelynek segítségével – a bootstrap típusú módszerekhez hasonlóan – alternatív mintákat épít, feltételezve, hogy a folyamatot hajtó zaj független valószínűségi változókból áll és minden marginális eloszlás szimmetrikus. Az SPS módszert azonban nem lehet közvetlenül alkalmazni GARCH folyamatokra, mivel, (i) azt lineáris rendszerekhez tervezték és a GARCH folyamatok nem lineárisak; valamint (ii) az SPS egy kvadratikus hibafüggvény minimalizálásával definiált – pl., LS (least-squares) – becslés köré építi a konfidencia-halmazokat, nem a QML becslés köré; és (iii) a reziduálisok előjel-perturbációja nem eredményez alternatív (variancia) trajektóriákat GARCH esetben. Az előadásban javasolt továbbfejlesztés a score függvény (log-likelihood gradiense) perturbálásán alapul, amelyben a becsült reziduálisoknak nem az előjeleit perturbáljuk, hanem véletlenszerűen átrendezzük (permutáljuk) őket. Ehhez a módszerhez nem szükséges a zaj eloszlások szimmetrikusságának feltételezése, viszont a zajnak független azonos eloszlásúnak (i.i.d.) kell lennie, ami azonban egy standard feltevés GARCH folyamatoknál. Bizonyítható, hogy így egzakt, eloszlás-független konfidenciahalmazokhoz jutunk véges minták esetén is. Az előadás néhány szimulációs kísérlet bemutatásával zárul.

Actions (login required)

Edit Item