Csoportgyűrűk és keresztszorzatok = Group rings and crossed products

Bódi, Béla and Balogh, Zsolt Ádám and Bódi, Viktor and Szakács, Attila and Király, Bertalan and Patay, Zoltán and Kurdics, János (2006) Csoportgyűrűk és keresztszorzatok = Group rings and crossed products. Project Report. OTKA.

Preview

PDF 37202_ZJ1.pdf Download (122kB)

Abstract

Jelen pályázat fő eredményei az FG csoportalgebra Lie srtuktúrájának és a normalizált V(FG) egységcsoportjának leírása egyes esetekben, továbbá FG filtrációs bázisának létezése és az általános kristálycsoport vizsgálata. Jellemeztük a maximális és majdnem maximális indexű Lie nilpotens csoportalgebrát. Ha G véges p-csoport, akkor a V(FG) konjugált osztályainak rendjét és hatványteljes struktúráját vizsgáltuk, továbbá azt, hogy mikor teljesül Berman sejtése, azaz, a V(FG) mikor határozza meg egyértelműen a G csoportot. Kiterjesztettük kutatásainkat a csoportazonosságok vizsgálatára a V(FG)-n és megoldást nyert két nagyon nehéz probléma: az FG jellemzése korlátos Engel, illetve feloldható egységcsoporttal. Folytattuk a vizsgálatokat az FG filtrációs bázisának létezéséről, megmutattuk, hogy ha G nem kommutatív hatványteljes, akkor FG-nek nincsen filtrációs bázisa. Sikerült a filtrációs bázis leírása abban az esetben, ha G-nek van p^2 indexű ciklikus részcsoportja. A reprezentáció elméleti kutatásokat kiterjesztettük az általános kristálycsoportokra és az elért eredmények alapján új struktúra tételeket kaptunk a klasszikus kristálycsoportra. A kutatások egy részét az argentin Cordoba-i egyetem munkatársaival közösen végeztük és tovább folytatjuk egy nemzetközi pályázat keretében. Elkészítettük és publikáltuk a LAGUNA programcsomagot, amely segítségével az FG-ben és V(FG)-ben végezhetünk vizsgálatokat számítógéppel. E programcsomag felhasználásával sikerült igazolni, hogy a 3 dimenziós kristálycsoportok holonómia csoportjaira a Zassenhaus első sejtése érvényes. | The main results of our work are the description of the Lie structure and the normalized group of units V(FG) of the group algebra FG in certain cases and the investigation of the existence of filtered bases of FG. We studied the generalized crystallographic groups. We described the group algebras with maximal and "almost maximal" Lie nilpotency indices. Furthermore, we studied the order of conjugacy classes and the powerful structure of V(FG) in the case when G is a finite p-group, and we investigated a famous conjecture of Berman, namely, when does V(FG) determine the group G. We extended our research to the study of group identities on V(FG) and solved the following two difficult problems: we described the group algebras (i) which are bounded Engel; (ii) whose group of units is solvable. We continued the study of the existence of filtered bases of FG and showed that if G is non-commutative and powerful, then G has no filtered bases. We described the filtered bases when G has a cyclic subgroup of index p^2. Using the theory of the integral representation of finite groups, we studied the generalized crystallographic groups, and we applied the above results to give new structure theorems on the classical crystallographic groups. Some parts of these results were obtained jointly with researchers from the University of Cordoba. We developed the computer algebraic system LAGUNA, which is an useful tool to investigate FG and V(FG). By the help of LAGUNA we proved the first conjecture of Zassenhaus for the holonomy group of crystallographic groups of dimension 3.

Actions (login required)

Edit Item