Über das algebraische integral der mikusinskischen operatoren

Fényes, Tamás and Kosik, Pál (1964) Über das algebraische integral der mikusinskischen operatoren. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI KUTATÓ INTÉZETÉNEK KÖZLEMÉNYEI, 9 (1-2). pp. 21-34.

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Abstract

Die Verfasser beschäftigen sich in (lieser Arbeit mit dem sogenannten algebraischen Integral der Mikusinskischen Operatoren. Sie setzten die Kenntnis der in [1] nidergelegten Grundlagen der Mikusinskischen Operatorenrechnung sowie der dort gebrauchten Bezeichnungen voraus; so werden hier diese nicht geschildert. Wie bekannt, ist die Mikusinskische Definition der algebraischen Ableitung die folgende (Siehe [1]): Ist a = {a(t)} ∈ L, so ist (1) Da = D{a(t)} = { - ta (t)} und für beliebige Operatoren x = {b}/{c}, b, c, ∈ L, c ≠ 0 (2) Dx = c D b - b D c / c², hierbei bedeutet L die Menge der im Intervall < 0, ∞ ) lokal integrierbaren Funktionen. Es ist leicht ersichtlich, dass diese Definition korrekt ist, da einerseits die algebraische Ableitung des Operators x von seiner Herstellung {b}/{c} unabhängig ist, andererseits, falls x ∈ L, so folgt aus (2) Dx = { - tx(t) }. Die folgenden Eigenschaften der algebraischen Ableitungen sind leicht beweisbar: Bezüglich der Operatoren x, у und der Zahlenoperatoren C₁, C₂ gelten die folgenden Zusammenhänge: D(c₁x + c₂y) = c₁Dx + c₂Dy , Dxy = уDx + xDy , D x/y = yDx - xDy/y² , y ≠ 0 Mikusinski hat weiterhin in [ 1 ] gezeigt, dass die algebraische Ableitung eines beliebigen rationalen Ausdruckes von der Form αₙ 8ⁿ + αₙ₋₁ 8ⁿ⁻¹ + ... + α₀/βₘ 8ᵐ + βₘ₋₁ 8ᵐ⁻¹ + ... + β₀ des s Differentiationsoperators durch formelle Differenzierung nach s bestimmt werden kann. Demgemäss wird das Symbol D der algebraischen Ableitung auch mit d/ds bezeichnet. Die Verfasser gebrauchen in dieser Arbeit die Bezeichnung D, bzw. im Falle einer Uten Ableitung, die Bezeichnung Dᵏ (k = 1 , 2 . . .). In [2] weist Mikusinski weitere wichtige Eigenschaften der algebraischen Ableitung nach. Es sei α eine beliebige Zahl, so ist Dα = 0 und umgekehrt, besteht für irgendeinen Operator der Zusammenhang Dx = 0, so ist x eine beliebige Zahl. Ist weiterhin der Operator w ein Logarithmus (siehe [1]), d. h. wenn die Exponentialfunktion eλʷ existiert, so besteht (3) Deʷ = Dw * eʷ . Die Verfasser werden im weiteren von diesem wichtigen Zusammenhang Gebrauch machen. Mit dem Problem der Inversen der algebraischen Ableitung hat sich als erster E. Gesztelyi [ 3 ] beschäftigt. In seiner Arbeit betrachtet er — nach Definition des algebraischen Integrals, und nach Untersuchung seiner elementaren Eigenschaften, — die Lösung von gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen mit Polynom-koeffizienten mit Hilfe der Operatorenrechnung. Sein wesentliches Ergebnis besteht aus dem Beweis, dass jede stetige Funktion algebraisch integrierbar ist, und er gibt auch das Integral an. Die Verfasser beschäftigen sich in ihrer Arbeit eingehender mit dem Problem der algebraischen Integrierung. Die erhaltenen Ergebnisse sind allgemeiner, und die Beweise sind einfacher, als in [3]. Es wird beweisen, dass jede im Intervall < 0, ∞) lokal integrierbare Funktion auch algebraisch integrierbar ist. Weiterhin wird die Bedingung angegeben, unter der das algebraische Integral einer lokal integrierbaren Funktion eine lokal integrierbare Funktion herstellt. Es wird die Frage der algebraischen Integrierung der auch im negativen Bereich definierten Funktionen untersucht. Im weiteren wird die algebraische Integrierung solcher spezieller Operatoren, die keine Funktionen sind, betrachtet. Die Arbeit schliesst mit Sätzen bezüglich unendlicher Reihen, bzw. mit dem sehr allgemeinen Satz über die algebraische Integrierung endlicher Distributionen.¹

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