Über die eindeutigkeit der lösung des hamburgerstieltjes-schen momentenproblems

Freud, Géza (1964) Über die eindeutigkeit der lösung des hamburgerstieltjes-schen momentenproblems. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI KUTATÓ INTÉZETÉNEK KÖZLEMÉNYEI, 9 (1-2). pp. 117-123.

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Abstract

Es sei μ₀, μ₁, μ₂, . . ., μₙ, . . . eine Folge nichtnegativer Zahlen, für welche alle Determinanten (1) │μ₀│, │μ₀ μ₁│ │μ₀ μ₁ . . . μₙ │ │μ₁ μ₂│, . . ., │μ₁ μ₂ . . . μₙ₊₁ │, . . . │. . . │ │. . . │ │. . . │ │μₙ μₙ₊₁ μ₂ₙ │ positiv sind. Nach einem bekannten Satze von H. Hamburger [1] gibt es dann eine in (- ∞, + ∞) definierte nicht abnehmende Funktion a(x), so dass (2) μₙ = + ∞ ∫ - ∞ xⁿ da(x) ist. Wir nennen zwei nicht abnehmende Funktionen α₁(x) und α₂(x) äquivalent, wenn es eine Konstante k gibt, so dass in allen Punkten x, in welchen α₁(x) und α₂(x) stetig sind, α₁(x) = α₂(x) + k ist. Äquivalente Funktionen erzeugen offenbar dieselbe Momentenfolge { μₙ }. Wir normieren die Belegungsfunktionen durch die Vereinbarung α(- ∞) = 0; dann nehmen äquivalente Belegungstunktionen in Stetigkeitspunkten gleiche Werte an. Wir sagen, die Lösung des Momentenproblems (2) ist eindeutig, falls aus + ∞ ∫ - ∞ xⁿ da₁(x) = + ∞ ∫ - ∞ xⁿ da₂(x) = μₙ die Äquivalenz von α₁(x) und α₂(x) folgt. Ist P(x) = ∑ αᵥxᵛ ein beliebiges Polynom, dann ist der Wert μ(P) = + ∞ ∫ - ∞ P(x) da(x) = ∑ αᵥμᵥ durch die Momentenfolge { μᵥ } eindeutig bestimmt, hängt also nicht davon ab, welche Lösung a(x) des Momentenproblems (2) gewählt wurde. Es sei ε eine reelle Zahl, ∏ε die Klasse der Polynome P(x) mit reellen Koeffizienten, für welche P(ε) = 1 ist, a(x) eine Lösung von (2), und (3) λ(ε) = inf + ∞ ∫ - ∞ P²(x) da(x) . P∈∏ε Der Wert von λ(ε) hängt laut voriger Bemerkung nur von der Momentenfolge { μₙ } ah und ist unabhängig davon, welche Lösung α(x) des Momentenproblems (2) in Formel (3) eingesetzt wurde. Dann gilt folgender Satz. Ist für einen einzigen Wert ε λ(ε) = 0, dann ist die Lösung des Momenten problems ( 2 ) eindeutig. Ist umgekehrt die Lösung von ( 2 ) eindeutig, dann ist in jedem Punkte ε, wo a(x) stetig ist (also für alle reellen Werte mit höchstens abzählbar vielen Ausnahmen) λ(ε) = 0 gültig. Dieser Satz wurde zuerst von H . Hamburger [ 1 ] bewiesen; ein zweiter, recht bekannter Beweis dieses Satzes stammt von M. Riesz [4]. Der Beweis von Hamburger ist auf eine umfangreiche Theorie der quadratischen Formen ∑μᵢ₊ⱼxᵢxⱼ gebaut. Der Beweis von M. Riesz ist direkt, aber keineswegs einfach. Das Ziel vorliegender Arbeit ist, einen neuen Beweis dieses Satzes zu geben. Wir hoffen dabei, mit unseren Beweise auch den Inhalt des Satzes besser erklären zu können. In § 2 und § 3 sind einige wohlbekannte Ergebnisse dargestellt, welche die Grundlage des Beweises bilden. Der Beweis des Satzes (und auch die neue Idee, welche es vereinfacht) ist in § 4 enthalten.

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