Über zerlegungssätze für teilweise geordneten halbgruppen mit bedingten distributivitätsregeln

Steinfeld, O. (1964) Über zerlegungssätze für teilweise geordneten halbgruppen mit bedingten distributivitätsregeln. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI KUTATÓ INTÉZETÉNEK KÖZLEMÉNYEI, 9 (3). pp. 313-330.

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Abstract

Die Verbandshalbgruppen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der teilweise geordneten algebraischen Strukturen. (S. L. Fuchs [3].) Die in dieser Arbeit definierte (*)-Verbandshalbgruppe ist eine multiplikative Halbgruppe und ein vollständiger Verband mit gewissen Eigenschaften (2.1) — (2.4) und mit einer »schwachen« Distributivitätsregel (*). Die Menge aller Teilringe eines assoziativen Ringes bildet z. B. eine (*)-Verhandshalbgruppe. In einer früheren Arbeit [13] definierten wir die Begriffe der Absorbenten und Primabsorbenten als Verallgemeinerungen der Ideale und Primideale. Wir gehen jetzt durch die Definitionen der Links-, Rechts-, Bi- und Quasiabsorbenten in dieser Richtung weiter. Eine (*)-Verbandshalbgruppe wird radikalfrei genannt, wenn ihr grösstes Element keinen nilpotenten Linksabsorbenten (≠ 0) besitzt. I n § 4 beschäftigen wir uns mit solchen radikalfreien (*)-Verbandshalbgruppen, deren grösstes Element Vereinigung von minimalen Rechtsabsorbenten (und Linksabsorbenten) ist. Wir geben für diese (*)-Verbandshalbgruppe einige Zerlegungssätze, die den Struktursätzen der halbeinfachen Ringe und den Zerlegungssätzen der vollständig einfachen Halbgruppen analog sind (Sätze 4.2, 4.3, 4.4). Um zu diesen Ergebnissen zu gelangen, müssen wir eine gemeinsame Verallgemeinerung des Schiefkörpers und der Gruppe mit Nullelement angeben (Lemma 2.5) und einige Sätze über die minimalen Links-, Rechts-, Bi- und Quasiabsorbenten beweisen (§ 3). In seiner Arbeit [6] gab L. Kovács eine Charakterisierung der regulären Ringe mit Hilfe der Links- und Rechtsideale. In Satz 2.3 definieren wir die regulären (*)-Verbandshalbgruppen mit Hilfe der Links-, Rechts- und Quasiabsorbenten. Die regulären (*)-Verbandshalbgruppen sind radikalfrei, so lassen sich die erwähnten Zerlegungssätze über die regulären (*)-Verbandshalbgruppen in einer schärferen Form übertragen (Sätze 4.2', 4.6).

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