Ein matrizentheoretisches problem, und sein zusammenhang mit der theorie der orthogonalreihen

Balatoni, F. (1964) Ein matrizentheoretisches problem, und sein zusammenhang mit der theorie der orthogonalreihen. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI KUTATÓ INTÉZETÉNEK KÖZLEMÉNYEI, 9 (3). pp. 481-489.

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Abstract

Einleitung Es sei Ωₙ die Menge derjenigen reellen, symmetrischen Matrizen А = [αⱼₖ] n-ter Ordnung, die so beschaffen sind, dass für jedes beliebiges Wertsystem der reellen Veränderlichen ξ₁, ξ₂, . . ., ξₙ die quadratischen Formen ⁿ∑ⱼ,ₖ₌ₗ αⱼₖ ξⱼ ξₖ den Ungleichungen (1) ⁿ∑ⱼ,ₖ₌ₗ αⱼₖ ξⱼ ξₖ ≧ { ξ²₁ (ξ₁ + ξ₂)² . . . (ξ₁ + ξ₂ + . . . + ξₙ)² genügen. In diesem Artikel wird die Grössenordnung des maximalen Hauptdiagonalelements der Matrizen А ∈ Ωₙ untersucht. Wir beweisen den folgenden Satz. Es existiert eine universelle Konstante K₁ > 0 derart, dass für ein beliebiges Element A von Ωₙ die Beziehung (2) maxₖ₌₁,₂,...,ₙ αₖₖ ≧ K₁ (log n)² (n = 2, 3, . . .). gilt, und es existiert in Ωₙ eine Matrix A und eine universelle Konstante K₂ > 0 derart, dass (3) maxₖ₌₁,₂,...,ₙ αₖₖ ≦ K₂ (log n)² (n = 2, 3, . . .). Als eine einfache Folge des Satzes ergibt sich die folgende Version des Rademacher — Menschow'schen Lemmas ([1], S. 75): Sind α₁, α₂, . . ., aN beliebige reelle Zahlen und ψ₁(x), ψ₂(x), . . ., ψN(x) ein beliebiges orthonormiertes Funktionensystem im Räume L²μ₍ₓ₎ so ist das Quadrat der Funktion δN(x) (4) δN(x) = maxᵥ≦N ∣ ⱽ∑ₖ₌ₗ αₖ ψₖ(x) ∣ ≧ 0 integrierbar, und es gilt: ᵇ∫ₐ δ²N(x) dμ(x) ≦ K₂(log N)² N∑ₖ₌ₗ α²ₖ (K₂ ist die in unserem Satz vorkommende universelle positive Konstante.) Wir beweisen den Satz auf matrizentheoretischem Wege, und geben dadurch im wesentlichen einen matrizentheoretischen Beweis des Rademacher — Menschow'schen Lemmas. Eine Folge dieses Lemmas ist der Fundamentalsatz über die Konvergenz der Orthogonalreihen, den zu erst Rademacher und Menschow bewiesen haben ([1], S. 76): Die Orthogonalreihe ∞∑ₙ₌₀ cₙ ψₙ(x) ist unter der Bedingung ∞∑ₙ₌ₗ α²ₙ log² n < + ∞ fast überall konvergent.

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