Vizsgálatok a lineárisan kompakt gyűrűk elméletében, I.

Wiegandt, Richárd (1966) Vizsgálatok a lineárisan kompakt gyűrűk elméletében, I. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 16 (2). pp. 239-267.

Preview

Text cut_MATFIZ_16_2_1966_pp239_-_267.pdf - Published Version Download (1MB) | Preview

Abstract

Ez a dolgozat algebrai, pontosabban gyűrűelméleti tárgyú. Feltételezzük azonban, hogy a vizsgált gyűrűk egyúttal bizonyos tulajdonságokkal rendelkező topológikus terek. Ezt azért tettük, hogy topológikus módszerek segítségével lehetővéváljék a gyűrűknek olyan struktúrális vizsgálata és leírása, amely tisztán algebrai úton nem lenne elérhető. A felhasználásra kerülő topológikus módszereket részletesen ismertetni fogjuk. A dolgozat a szerzőnek [31], [32], [33] és [34] idegennyelvü dolgozatai alapján készült és tartalmazza azok eredményeit. A topológikus gyűrűket először az 1930-as évek elején D. van Dantzig vizsgálta. Bár az azóta eltelt három évtizedben nagyszámú dolgozat jelent meg, amelyben bizonyos topológikus gyűrűket vizsgálnak (pl. normált gyűrűket), viszonylag kevés azoknak a dolgozatoknak a száma, amelyeknek célja a gyűrűk általános struktúrális vizsgálata topológiai eszközök segítségével. Ilyen irányú vizsgálatok terén elsőnek I. Kaplansky nevét kell megemlíteni. [10] dolgozatának első részében főleg a kompakt gyűrűket** vizsgálja és bebizonyítja az első Wedderburn—Artin struktúratételnek egy analogonját: kompakt féligegyszerű gyűrű algebrailag és topológiailag izomorf véges egyszerű gyűrűk (azaz véges testek feletti teljes mátrixgyürük komplett direkt összegével. Behatóan vizsgálta Kaplansky a lokálisan kompakt gyürük elméletét is ([11], [12], [13]). A lokálisan kompakt egyszerű egységelemes gyűrűket tárgyalja Szkornyakov [23] egy nemrég megjelent dolgozatában, amelyből kitűnik, hogy ezek a gyűrűk nem mindig ferdetest feletti mátrixgyűrűk. Szerencsés fogalomnak bizonyult a lineáris kompaktság fogalma; ezt a fogalmat vektorterekre Lefschetz [17] definiálta, gyűrűk és modulusok elméletében Zelinsky [36] használta először. A lineárisan kompakt gyűrűk az Artin-gyűrűk általánosításai, ugyanis minden Artin-gyűrű a diszkrét topológiában lineárisan kompakt. Zelinsky-nek sikerült az első Wedderburn—Artin struktúratételnek és Kaplansky fent említett tételének közös általánosítását is adnia. Nagy lépéssel vitte előre a lineárisan kompakt modulusok és gyűrűk elméletét Leptin [18], [19]. Leptin bizonyos vonatkozásban a legnagyobb mértékű általánosítását adta az első Wedderburn—Artin struktúratételnek. Ez utóbbi tétel szerint a féligegyszerű Artin-gyűrűk véges dimenziós vektorterek teljes endomorfizmusgyűrűinek véges direkt összegei. Leptin bebizonyította, hogy mindkét végességi feltételt elhagyva, éppen a lineárisan kompakt féligegyszerű gyűrűk jellemzése áll elő. Leptin vizsgálta a lineárisan kompakt gyűrűk Jacobson- radikálját is. A topológikus gyűrűk irodalmának feldolgozása Szász Ferenc [26], [27] referáló dolgozataiban található. Ebben a munkában célunk a lineárisan kompakt gyűrűk további vizsgálata. Minthogy a lineárisan kompakt gyűrűk Jacobson-radikálja mindig zárt ideál, azért egy ilyen gyűrűnek a radikálja szerinti faktorgyűrűje radikálmentes és lineárisan kompakt. Ilyen módon bármely lineárisan kompakt gyűrű egy lineárisan kompakt radikálgyűrűnek egy radikálmentes lineárisan kompakt gyűrűvel való Schreierbővítése. Mi a két határesettel fogunk foglalkozni; а II. részben L e p t i n eredményeihez kapcsolódva a radikálmentes lineárisan kompakt gyűrűket vizsgáljuk, a III. részben pedig a lineárisan kompakt radikálgyűrűk leírásával foglalkozunk. Szeretnénk hangsúlyozni, hogy az itt bemutatásra kerülő eredmények természetesen nem zárják le a lineárisan kompakt gyűrűk elméletét. Szinte valamennyi §-ban természetszerűleg merülnek fel további kérdések, amelyek elég érdekesnek és fontosnak tűnnek ahhoz, hogy további vizsgálatok tárgyát képezzék. A könnyebb érthetőség kedvéért ismertetünk olyan ismert tételeket is, amelyeket munkánkban felhasználunk. Más szerzők eredményeivel kapcsolatban azt az elvet követjük, hogy csak utalunk rájuk, amennyiben azok könyvekben (pl. [1], [2], [4], [8], [9], [17], [20], [21], [28], [30]) megtalálhatók, viszont részletesen ismertetjük a bizonyításokat is abban az esetben, amikor ezek csak dolgozatokban szerepelnek. A bizonyítások végét a Halmos által bevezetett és azóta egyre gyakrabban használt [] jellel jelöljük. A szerző [31], [32], [33] és [34] dolgozataiban szereplő eredményekre a továbbiakban nem fogunk utalni. A dolgozat I. részét az előkészületeknek szenteljük. Az eredmények könnyebb megértése végett részletes előkészületeket végzünk, különösen vonatkozik ez a topológiai előkészületekre, tekintettel arra, hogy eredményeink algebrai jellegűek. A 2. §-ban ismertetjük a felhasználásra kerülő algebrai fogalmakat és eredményeket. Vizsgálataink során mélyebb topológiai eredményekre nem lesz szükségünk, az általunk felhasznált topológiai eljárásokat a 3. és 4. §-ban részletesen tárgyaljuk. A 3. §-ban ismertetjük a topológikus tér és topológikus struktúra fogalmát a Witt által javasolt speciális filter-fogalom segítségével. Itt tárgyaljuk a struktúrák inverzlimeszére vonatkozó tételeket is. Az inverz-limesz képzésének nagy szerep jut a későbbi bizonyításokban. Ugyancsak ebben a §-ban közöljük Jacobson sűrűségitételének topológiai megfogalmazását és a primitív gyűrűkre vonatkozó struktúratételét. Ezek közül a tételek közül az előbbit bizonyítás közben az 5. §-ban felhasználjuk, az utóbbira pedig utalás történik a 8. §-ban. Ugyancsak a 3. §-ban ismertetjük a transzfinit nilpotenciának Leptin-tőI származó definícióját. Vizsgálatainkban a lineárisan kompakt gyűrűkön kívül fellépnek olyan gyűrűk is, amelyek hasonló gyűrűtopológiával rendelkeznek, és amelyekre analóg topológiai tételek érvényesek. Célszerűnek látszott tehát e két gyürűosztály párhuzamos topológiai vizsgálata. Ezt úgy értük el, hogy általánosítottuk a lineárisan kompaktság fogalmát rögtön kétoldali modulusok esetére. A 4. §-ban ezzel az általánosított lineáris kompaktsági fogalommal foglalkozunk, és megvizsgáljuk topológiai tulajdonságait. A nyert eredmények Zelinsky [35], [36] és Leptin [18] eredményeinek az általánosítása, a bizonyítások is hasonlóan történnek. Mint már említettük, ennek az általánosított lineáris kompaktsági fogalomnak csupán két speciális esetére lesz szükségünk, mégis az itt ismertetett tételek kiindulópontul szolgálhatnak más értelemben vett lineárisan kompakt gyűrűk vizsgálatához. (Gondolunk pl. olyan gyűrűkre, amelyeknek van kváziideálokból álló bázisfilterük és amelyekben minden zárt kváziideálokszerinti mellékosztályokból álló filternek van érintkezési pontja.) A II. részben a radikálmentes lineárisan kompakt és lokálisan lineárisan kompakt gyürük jellemzésével foglalkozunk. Mint már említettük, a radikálmentes lineárisan kompakt gyűrűk teljes leírását Leptin adta azzal a tételével, amely az első Wedderburn—Artin struktúratételnek nagyfokú általánosítása. Leptin eredményeit a teljesség kedvéért bizonyítással együtt közöljük az 5. § első részében, a második részében ezeknek a gyűrűknek további moduluselméleti jellemzéseit adjuk, köztük három homológikus jellemzést. A 6. §-ban a radikálmentes lineárisan kompakt gyűrűknek gyűrűelméleti jellemzéseit adjuk, ezek az eló'ző § eredményeiből könynyen nyerhetők. A 7. §-ban látni fogjuk, hogy a féligegyszerű lineárisan kompakt gyűrűk osztálya egybeesik a Neumann-reguláris lineárisan kompakt gyűrűk osztályával. A féligegyszerű lokálisan lineárisan kompakt gyűrűkkel foglalkozunk a 8. §-ban. Noha a lokális lineáris kompaktság fogalma már Lepschetz [17] könyvében is megtalálható, ilyen gyűrűkkel vagy modulusokkal foglalkozó eredményekről a szerzőnek nincs tudomása. A lokálisan lineárisan kompakt gyürük vizsgálatát érdekessé teszi az a körülmény, hogy a hozzá topológiai szempontból közelálló lokálisan kompakt gyűrűk vizsgálatában nehézségek lépnek fel. I. Kaplansky vizsgálataihoz kapcsolódva Szkornyakov [23] foglalkozott az egyszerű lokálisan kompakt egységelemes gyűrűkkel. Meglepő eredménye, hogy létezik nem diszkrét lokálisan kompakt egyszerű egységelemes gyűrű, amely nem ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű. Eredményeink viszont azt mutatják, hogy a lokálisan lineárisan kompakt gyürük könnyebben leírhatók. A 8. § fő eredménye az, hogy minden féligegyszerű lokálisan lineárisan kompakt gyűrűnek van minimális balideálja, így korolláriumként kapjuk, hogy a primitív lokálisan lineárisan kompakt gyűrűket Jacobson struktúratétele írja le, az egyszerű lokálisan lineárisan kompakt gyűrűket pedig a Litoff-tétél. Látni fogjuk továbbá, hogy egy topológikusan egyszerű lokálisan lineárisan kompakt gyűrű lineárisan kompakt is, amennyiben a topológiája a legdurvább, vagy pedig van jobbegységeleme. A III. részben a lineárisan kompakt radikálgyűrűkkel foglalkozunk. A radikálgyűrűk helyett t-nilpotens gyűrűket vizsgálunk, ez a két fogalom L-kompakt gyűrűk esetében, mint azt látni fogjuk, egybeesik. A lineárisan kompakt gyűrűkre bebizonyítjuk, hogy egy t-nilpotens gyűrű mindig radikálgyűrű, de a fordított állítás hamis; továbbá t-nilpotens lineárisan kompakt gyűrű a legdurvább topológiában L-kompakt is. A t-nilpotens L-kompakt gyűrűk jellemzését úgy nyerjük, hogy felhasználjuk Szele Tibornak nilpotens Artin-gyűrűkre vonatkozó tételét, és alkalmazzuk az inverz-limesz képzés Zelinsky által kidolgozott módszerét. Szele [29] a nilpotens Artin-gyűrűket nilpotens véges gyűrűkkel jellemezte, mi ezt a jellemzést számunkra megfelelően módosítjuk a 9. §-ban. A 9. § eredményéből inverz-limesz képzéssel leírjuk a 10. §-ban a t-nilpotens L-kompakt gyűrűket. A t-nilpotens L-kompakt gyűrűk jellemzése a ll. §-ban nilpotens véges gyűrűk inverz-limesze és egy olyan nilpotens zárt ideál segítségével történik, amelynek a köbe zérus. Ezen a helyen szeretnék köszönetet mondani Fuchs László professzornak értékes észrevételeiért és tanácsaiért, amelyek munkámban nagy segítséget jelentettek.

Actions (login required)

Edit Item