Körelhelyezések állandó görbületű felületeken

Molnár, József (1962) Körelhelyezések állandó görbületű felületeken. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 12 (3). pp. 223-263.

Preview

Text cut_MATFIZ_12_3_1962_pp223_-_263.pdf Download (29MB) | Preview

Abstract

A diszkrét geometriában a legutóbbi időben előtérbe kerültek tartományok kitöltésével, ill. lefedésével kapcsolatos problémák, melyeket gyakran a műszaki-, vagy természettudományok vetnek fel. Ilyen pl. a következő kitöltési probléma. Egy kidolgozott borjúbőrből, hogyan lehet adott méretű cipőfelsőrészeket kivágni úgy, hogy a selejt minimális legyen? Dolgozatunkban ennek az alapproblémának csupán azzal a speciális esetével foglalkozunk, amikor az elhelyezendő {K} tartományok véges sok kör egyesített halmazából állanak. Vizsgálatainkban a kitöltendő T „tartomány" vagy egy állandó görbületű felület, pontosabban a gömbfelület, az euklideszi sík, vagy a hiperbolikus sík, vagy ennek egy bizonyos résztartománya. Mielőtt röviden vázolnánk dolgozatunk eredményeit, vessünk egy pillantást az eddigi körelhelyezési eredményekre! Az euklideszi sík kongruens körökkel való legsűrűbb kitöltésének problémáját A. Thue, a számelméletben elért alapvető eredményeiről ismert nagy norvég matematikus oldotta meg 1892-ben. Eltekintve H. Minkowski, Lord Kelvin és W. Barlow vizsgálataitól, melyek csupán szabályos elhelyezésekre vonatkoztak, a körelhelyezési vizsgálatokban hosszabb szünet következett be. Az euklideszi sík kongruens körökkel való legritkább lefedésének problémáját R. Kershner [45] oldotta meg 1939-ben. További bizonyítások, ill. élesítések a sík kongruens körökkel való kitöltésére, ill. lefedésére találhatók pl. Fejes Tóth L. [13], [14], H. Hadwiger [40], B. Segre—K. Mahler [64] és S. Verblunsky [67] dolgozataiban. A körelhelyezési problémák rendszeres vizsgálatát Fejes Tóth kezdte, aki kutatásait kiterjesztette a diszkrét geometria különböző területeire. Gondolunk pl. a következőkre: 1.T ≡ euklideszi sík, {К} ≡ sinkongruens körrendszer, 2. ≡ konvex tartomány, {К} ≡ kongruens körrendszer, 3. T ≡ konvex tartomány, {AT} ≡ inkongruens körrendszer, 4. T ≡ állandó görbületű felület, {K} ≡ kongruens körrendszer. A körelhelyezési problémák gazdag irodalmából említsük még meg a következőket: M. Ageno [1], [2], Balázs J., W. J. Blundon [7], A. H. Boerdijk [9], L. Danzer [11], Erdős P., Fejes Tóth L. [26], [27], [28], [32], L. Few [33], S. Finsterwalder [34], A. Florian [36], H . Groemer [37], W. Habicht [38], Heppes A. [41], [42], [43], H. Meschkowski [48], [49], Molnár J. [50], [51], [52], [53], [54], [55], [56], [57], R. Rado [59], H. Ruttshauser [61], B. L. Van Der Waerden [68], L. L. White [69]. Az eddigi vizsgálatok főként konvex tartományoknak konvex tartományokban való elhelyezésére vonatkoztak. A gyakorlat által felvetett problémák azonban többnyire nem konvex tartományok vizsgálatát igénylik. E területen elért eredmények száma igen csekély. Dolgozatunk kiindulási pontját az elhelyezési problémák vizsgálatainak kiterjesztése képezte bizonyos nem konvex tartományokra. Ezek a vizsgálatok vezettek a körkonvexitás fogalmához, amely általánosítása a Mayer-féle [47] r-hiperkonvexitásnak, a Hadwiger [39] a-rendű konvexitásnak, a Perkal-féle [58] e-konvexitásnak és igen szoros kapcsolatban áll az A. D. Alexandrov [4], [5], [6], ill. J. G. Resetnyák [60] által értelmezett PRV, ill Oδ halmaz fogalmával. A nem konvex tartományok vizsgálataiban alkalmazott egyik segédtétel (Hajós-féle lemma) lehetőséget adott az egész síkra (vagy annak konvex tartományaira) vonatkozó ismert sűrűségbecslések messzemenő élesítéseire és általánosításaira. A disszertáció két részből áll. Az I. részben klasszikus értelemben konvex „tartományokban" vizsgáljuk a körelhelyezéseket, míg a II. részben körkonvex tartományokban. A tárgyalás java része szintetikus. Az eredmények egyszerű elemi megfontolások révén adódnak.

Actions (login required)

Edit Item