Kétváltozós függvényekről (I.)

Kronrod, A. Sz. (1962) Kétváltozós függvényekről (I.). A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 12 (4). pp. 361-386.

Preview

Text cut_MATFIZ_12_4_1962_pp361_-_386.pdf Download (3MB) | Preview

Abstract

A két- és többváltozós valós függvények elméletének elég kiterjedt irodalma van. Véleményem szerint azonban az ebben az irányban elért nagyszámú és gyakran igen mély eredmény mégsem képez természetes elméletet. A jelen cikk egy a kétváltozós valós függvények geometriai elméletébe való bevezetés vázlata. Vizsgálatunk tárgyai a kétváltozós függvények, de éppen nem mint két változó, x és y, függvényei, hanem mint valamely kétdimenziós tartomány pontjaiban megadott függvények. Ezzel kapcsolatban a bevezetendő fogalmaknak — lineáris és síkbeli variáció, lineáris integrál, a monotonitás fogalma stb. — úgy kell felépülniük, hogy ne függjenek a koordinátarendszer véletlen megválasztásától. A tanulmányozás során kiderül, hogy a kétváltozós függvények tulajdonságai élesen széthasadnak. Közülük egyesek kisebb-nagyobb mértékben invariánsnak bizonyulnak az értelmezési tartomány önmagába való homeomorf transzformációival szemben; ezek a tulajdonságok közel állnak az egyváltozós függvények tulajdonságaihoz. Különösen világosan mutatkozik meg a kétváltozós függvények bizonyos tulajdonságainak „egydimenzióssága" azokban az eredményekben, amelyeket az I. fejezet 2. §-ában ismertetünk. Kiderül, hogy minden függvénnyel kapcsolatban van egy egydimenziós kontinuum, a függvény egydimenziós fája. A függvény számos tulajdonságának vizsgálata visszavezethető az egydimenziós fán értelmezett megfelelő függvény tulajdonságainak vizsgálatára. A kétváltozós függvények más tulajdonságai, ellenkezőleg, határozottan „kétdimenziósak". Lényegében ilyen tulajdonságokat tanulmányozunk a III. fejezetben. Végül kiderül, hogy vannak olyan fogalmak is, amelyek a függvények „egydimenziós" és „kétdimenziós" tulajdonságaitól is függnek. Ilyen például az a tétel, amely a korlátos síkbeli és lineáris variációjú függvények teljes differenciáljának majdnem mindenütt való létezéséről szól. Bizonyos mértékig ilyen közbenső helyzetet foglalnak el a IV. fejezet eredményei is. Az első fejezet — „Nívóhalmazok" — célja annak az apparátusnak a megalkotása, amelynek segítségével a kétváltozós függvényeket tanulmányozni fogjuk. A második fejezetet — „Lineáris variáció" — a kétváltozós függvények „egydimenziós" tulajdonságainak szenteljük; a lineáris variáció itt megalkotott fogalma majdnem azonos az egyváltozós függvény — pontosabban az egydimenziós kontinuumon értelmezett függvény — variációjának fogalmával. A harmadik fejezetben — „Síkbeli variáció" — a függvények „kétdimenziós" tulajdonságait tanulmányozzuk. Itt megalkotjuk a kétdimenziós tartományon értelmezett F(η) függvény síkbeli W(F) variációjának fogalmát. A síkbeli variáció korlátossága ekvivalensnek bizonyul az ismert Tonelli-féle variáció korlátosságával. Az utóbbi variáció-fogalom azonban nem tesz eleget annak a legfontosabb követelménynek, amely nézetem szerint a geometriában minden fogalommal szemben természetes módon támasztható: a Tonelli-féle variáció lényegesen függ a derékszögű koordinátarendszer megválasztásától. Éppen ezért a Tonelli-féle variációra elvileg nem nyerhetők olyanfajta tételek, mint a síkbeli variáció egyenlősége a gradiens abszolút értékének integráljával (abszolút folytonos függvényeknél). A Tonelli-féle variáció-fogalom nem-geometriai voltának egy mélyebb következménye abban áll, hogy nem alkalmazható felületi függvényekre, ahol a síkbeli variáció alkalmas segédeszköz például a felszín fogalmának vizsgálatára. Az alkalmazások szempontjából valószínűleg a III. fejezet a legfontosabb. A negyedik fejezet — „Lineáris integrál" — kissé különleges helyzetet foglal el. Itt vezetjük be kétváltozós függvény deriváltjának, primitív függvényének és „ponttól pontig vett" integráljának fogalmát. E fogalmak bevezetését a szerző' szükségesnek véli és a kapott eredmények ezt bizonyos mértékben igazolják. De míg a síkbeli és a lineáris variáció konstrukciója számos okból véglegesnek látszik, a lineáris integrál konstrukciójával a dolog másként áll. Mégis az a körülmény, hogy ennek a nem tökéletes konstrukciónak a segítségével néhány természetes és eddig fel nem fedezett összefüggést lehetett kapni, arra késztetett, hogy bevegyem ezt a fejezetet, igaz, kissé vázlatos formában. A szerző seholsem törekedett maximális általánosságra, feláldozva azt a szemléletesség érdekében. A figyelmes olvasó a cikk majdnem minden eredményét át fogja tudni vinni olyan függvényekre, amelyek például egy irányítható, folytonosan differenciálható, nem határolt kétdimenziós sokaságon vannak értelmezve (az I, II. és III. fejezet eredményeit pedig határolt sokaságok esetére is). Továbbá az eredmények nagyrésze automatikusan átvihető n-változós függvények esetére is. Itt azonban n > 2 esetén természetes és szükségszerű módon fellépnek a „4-dimenziós" karakterisztikák (k = 1, 2, ..., n), amelyeket k ≠ 1; n mellett én nem tudok eléggé geometriai módon megszerkeszteni, és ezért az n = 2 esetre szorítkoztam. A nívóhalmaznak mint a függvényvizsgálat eszközének fogalma felhasználásra került már G. M. Adelszon — Velszkijjel közösen írt [1] munkáinkban, amelyek a monogén függvények analitikus voltának direkt bizonyításával foglalkoznak. (Az utóbbi problémát N. N. Luzin vetette fel.) Éppen ezek a munkák vezettek el engem a többváltozós függvények önmagukban való tanulmányozásához. A többváltozós függvények elmélete terén végzett munkásságomra, amely ennek a cikknek a megírására vezetett, sokan gyakoroltak hatást. Bár nincs lehetőségem arra, hogy mindnyájukat felsoroljam, mégis felhasználom az alkalmat és mély hálámat fejezem ki N. N. Luzinnak, A. N. Kolmogorovnak, Sz. L. Szoboljevnek, I. M. Gelfandnak és D. E. Menysovnak értékes tanácsaikért és útmutatásaikért. Továbbá őszintén hálás vagyok a többváltozós függvények tanával foglalkozó szeminárium résztvevőinek, különösen E. V. Glivenkónak, R. Sz. Gutyernak, A. JA. Dubrovickijnek, Sz. A. Plotnyikovajának, A. F. Filippovnak és Sz. V. Jablonszkijnak, akikkel folytatott beszélgetéseim lényeges haszonnal jártak számomra. Végül egészen külön kell rámutatnom E. M. Langyisz szerepére. E. M. Langyisz, aki állandóan figyelemmel kísérte munkám minden részletét, az egész idő alatt jelentős befolyást gyakorolt magára a mű irányára is tanácsaival, felfogásával és elképzeléseivel. A cikkben felhasználásra kerül az elemi topológia számos fogalma. Az olvasó ezeket megismerheti P. Sz. Alekszandrov [2] és Hausdorff [3] könyvébőL. A szükséges topológiai fogalmak és eredmények összeállítása megtalálható a jelen bevezetést követő Függelékben, magában a szövegben pedig hivatkozunk erre a függelékre. (A Függelék definíciói és tételei latin, a segédtételek görög betűkkel vannak jelölve.) Az egész cikk folyamán (az I. fejezet 2. §-a kivételével) az egyedüli előforduló ponthalmazok a négyzet vagy a kétdimenziós gömbfelület pontjaiból álló halmazok. A továbbiakban gyakran nem fogjuk külön megemlíteni ezt a körülményt. A zárt négyzetet vagy a kétdimenziós gömbfelületet mindig J-vel fogjuk jelölni. Két ponthalmaz, M és N egymástól való távolságát mindenütt ρ (M, N) vagy |M, N| jelöli. Speciálisan ha ξ és ζ két pont, akkor ρ (ξ, ζ) = |ξ, ζ| a köztük mért távolságot jelenti. Az E halmaz kiegészítő halmazát CE-vel, E lezárását pedig ⁻E-sal jelöljük. [ξ, ζ] a ξ, ζ pontokat összekötő zárt egyenesszakasz, illetve főkörív aszerint, amint J négyzet vagy gömbfelület. ₙlt⁻Eₙ és lt/ₙEₙ az {Eₙ} halmazsorozat topológiai limes superiorát és limes inferiorát jelenti (lásd az F definíciót a Függelékben).

Actions (login required)

Edit Item