A kváziideálokról

Steinfeld, Ottó (1964) A kváziideálokról. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 14 (3). pp. 301-315.

Preview

Text cut_MATFIZ_14_3_1964_pp301_-_315.pdf - Published Version Download (941kB) | Preview

Abstract

[19] illetve [21] dolgozatomban szerepel először a gyűrűk illetve félcsoportok kváziideáljainak fogalma. Azóta számos olyan cikk jelent meg, amely részben vagy egészben kváziideálokkal kapcsolatos eredményeket tárgyal. Jelen dolgozatnak az a célja, hogy összefoglalót és rendszerezést adjon az eddigi eredményekről, és felhívja a figyelmet néhány megoldásra váró problémára. Az eredmények bizonyítás nélkül szerepelnek irodalmi utalásokkal. Az a néhány eredmény, melyre vonatkozóan irodalmi adat nem szerepel, a szerző tudomása szerint új. A 2. §-ban a kváziideálokra és általánosabban az (m, n)-kváziideálokra vonatkozó általános eredmények ismertetése szerepel, melyek nagy része közvetlenül a definíciókból adódik. Míg egy félcsoport kváziideáljai egy-egy jobbideál és balideál metszeteként írhatók fel, addig gyűrű és félgyűrű esetén az analóg eredmény problémaként merül fel. 1961-ben J. Calais [2] nemleges irányban oldotta meg azt a problémát, hogy egy félcsoport két kváziideáljának szorzata általában kváziideál-e. A 3. illetve 4. §-ban a minimális illetve 0-min.imális kváziideálokra vonatkozó eredményeket tárgyaljuk O-elemmentes illetve 0-elemes esetekben. O-elemmentes esetben érvényes, hogy egy minimális balideál és egy minimális jobbideál metszete egy minimális kváziideál és megfordítva a minimális kváziideálok felírhatok egyegy minimális bal- és jobbideál metszeteként, sőt egy O-elemmentes félcsoport minimális kváziideáljai megegyeznek a Szuskevics-mag maximális részcsoportjaival, s így izomorfak, és egyesítésük a Szuskevics-mag. 0-elem létezése mellett általában csak az érvényes, hogy egy O-minimális balideálnak és egy O-minimális jobbideálnak a metszete vagy 0 vagy egy O-minimális kváziideál, a megfordítást csak speciális esetben sikerült kimutatni. Továbbá fennáll, hogy egy gyűrű (0-elemes félcsoport, 0-elemes félgyűrű) O-minimális kváziideálja vagy zérógyűrű (zérófélcsoport, zérófélgyűrű) vagy ferdetest (0-elemes csoport, 0-elemes divízió-félgyűrű). A 3. és 4. § eredményei Iséki [8] és a szerző [20], [21] és [23] dolgozataiban szerepelnek. Az 5. § eredményei is főként a O-minimális kváziideálokról szólnak abban az esetben, amikor a gyűrű (0-elemes félcsoport, 0-elemes félgyűrű) nem tartalmaz 0-tól különböző nilpotens balideált, azaz klasszikus radikálmentes. Ebben a speciális esetben igaz, hogy O-minimális kváziideálok egy-egy O-minimális bal- és jobbideál metszetei. Az ilyen gyűrűben az is érvényes, hogy (a) létezik O-minimális kváziideál, (b) létezik O-minimális balideál (jobbideál) — feltételek ekvivalensek és bármely O-minimális balideál (jobbideál) O-minimális kváziideálok halmazelméleti egyesítése. A 6. § eredményei a klasszikus radikálmentes illetve Artin-féle féligegyszerű struktúráknak O-minimális bal-, jobb-, bi- és kváziideálokra való felbontásairól szólnak. Kertész—Steinfeld [10] dolgozatában szerepel: Egy R gyűrűre vonatkozóan az alábbi feltételek ekvivalensek (A) R jobbegységelemes és 0-minimális balideálok direkt összege, (B) R olyan kváziideálok összege, amelyek teljes rendszert alkotnak, (C) R klasszikus radikálmentes és véges sok 0-minimális kváziideál direkt összege, (D) R Artin-Ше féligegyszerű. (6.2. tétel). Wiegandt [27] kimutatta az (A) és (B) feltételek ekvivalenciáját 0-elemes félgyűrűkre is. A 6.2. tétel féicsoportelméleti analogonjának tekinthető' a következő, tudomásunk szerint új eredmény: Az F 0-elemes félcsoportra vonatkozóan a következő feltételek ekvivalensek: (1) F reguláris és 0-minimális balideálok egyesítése, (2) F olyan kváziideálok egyesítése, amelyek végtelen teljes rendszert alkotnak, (3) F radikálmentes és εFη (ε² = ε, η² = η) alakú 0-minimális kváziideálok egyesítése, (4) F olyan kétoldali ideálok egyesítése, melyek F komplett 0-egyszeri részfélcsoportjai (8.6 tétel). Érdemes lenne a 0-minimális kváziideálokra vonatkozó vizsgálatokat kiterjeszteni arra az esetre is, amikor a struktúrának 0-tól különböző nilpotens balideálja van. — A 6. §-ban F. Szász [26], [27] bizonyos, kváziideálokkal kapcsolatos eredményei egy részét is közöljük. A 7. §-ban a Neumann-reguláris röviden reguláris struktúrák kváziideáljaira vonatkozó vizsgálatokat tárgyaljuk. L. Kovács [12], Lajos S. [13], J. Calais [2], J. Luh [15] és Steinfeld [24] eredményeit foglalja össze a következő 7.1. tétel: Az F félcsoport (félgyűrűre, gyűrűre) a következő feltételek ekvivalensek: (i) F reguláris, (ii) F mindegyik r jobbideáljára és l balideáljára rl = r ∩ l, (iii) F mindegyik r jobbideáljára, l baüdeáljára r² = r , l² = l és rl az F kváziideálja, (iv) F kváziideáljai egy reguláris, multiplikatív félcsoportot alkotnak. Megjegyezzük még, hogy az F reguláris félcsoport (félgyűrű, gyűrű) bármelyik t kváziideálja Ft balideálnak és tF jobbideálnak a metszete. L. Kovács [12]-ben jellemzi azokat a (reguláris) gyűrűket, melyeknek mindegyik kváziideálja idempotens. Problémaként merül fel, hogy analóg jellemzés érvényes-e félcsoportokra és félgyűrűkre vonatkozóan. Végül a 8. §-ban a Clifford-féle relatív inverzes és a Pees-féle komplett egyszerű félcsoportokra vonatkozó eredményeket tárgyaljuk. A. H. Clifford [3]-ból és [21]-ből származik a következő 8.5 tétel. Az F 0-elemmentes félcsoport M nemüres halmazára a következő feltételek ekvivalensek: (α) M az F összes minimális kváziideáljainak egyesítése, (β) M az P-nek olyan ideálja, mely relatív inverzes és egyszerű félcsoport, (γ) M az P-nek olyan ideálja, mely komplett egyszerű félcsoport.

Actions (login required)

Edit Item