A Geometrie (1637) és a differenciálási algoritmus születése

Vekerdi, László (1965) A Geometrie (1637) és a differenciálási algoritmus születése. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 15 (1). pp. 33-49.

Preview

Text cut_MATFIZ_15_1_1965_pp33_-_49.pdf - Published Version Download (4MB) | Preview

Abstract

Descartes Geometrie-jét a XIX. század óta az analitikus geometria megteremtéseként ünnepelték. így vezette ezt be M. Chasles, a múlt század egyik leghíresebb geométere és matematikatörténésze, aki az analitikus geometria előd nélküli, tökéletes formában való megjelenésének tekintette a Geometrie-t. S így él ez máig a legtöbb matematikus képzeletében. Pedig már a századfordulón figyelmeztetett rá egy kivételképpen matematikához is értő filozófus, Louis Liard, hogy „a cím ellenére, a látszat ellenére a Geometrie tulajdonképpen nem geometria, hanem algebra... Annak a szövetségnek a célja, amit az algebra és a geometria között teremt, nem a geometria megújítása, hanem az algebra átvilágítása a geometriai intuíció tisztaságával. Amit kínál, az egy szóval kifejezve, egyenletek grafikus megoldása." Az analitikus geometria következménye lesz ennek az algebrai reformnak, de nem ez volt Descartes célja. Csak a már kialakult analitikus geometria felől visszatekintve, a helytelen perspektíva keltette azt a látszatot, hogy a Geometrie-ben geometriáról van szó. „Vissza kell fordítani ezt a hamis perspektívát; olyan rendbe kell állítani a dolgokat, amint azt a módszer előírta. Hűen módszeréhez, Descartes a tudomány reformját a legegyszerűbb dolgok tudományán kezdte el, ti. a viszonyokén és arányokén általában, vagy ahogy ő nevezte, az univerzális matematikán." Ennek a módszernek az alapjait fiatalkori művében, a Regulae-ban fektette le. Liard szerint a Regulae semmi egyéb, mint általánosított arányelmélet. Liard ezt tekinti az egész későbbi cartesianus módszer kulcsának. „Végső analízisben a módszer célja összetett viszonyok képzése egyszerűek segítségével, mint ahogy a számolás a nagyobb számokat az egység megismétlésével konstruálja."5 A Geometrie későbbi interpretációi ennek a két iránynak a folytatásai. Akik a modern analitikus geometria felől közelednek hozzá, azok, mint Chasles, koordináta geometriát látnak benne, akik a. Regulae felől, azok algebrát és arányelméletet. Moritz Cantor jól látta, hogy a Geometrie-ben az algebra a lényeg, de az egészet nem tartotta túlságosan újnak. Ezzel szemben Pierre Boutroux szerint Descartes előtt az algebra zsákutcában volt, a továbbjutáshoz mindenekelőtt az egyenletek algebrai megoldásának az elméletét kellett megteremteni, s éppen ezt végezte el Descartes. Charles Adam is az egyenletek elméletét tartja nagy újságnak a Geometrie-ben, ez teszi lehetővé a görbék algebrai kezelését. Tannery szerint viszont az a tény, hogy Descartes olyan nagy fontosságot tulajdonít a folytonos mozgás által szerkeszthető görbéknek, arra utal, hogy egy folytonos mozgáson alapuló görbeelmélet kiépítése lebegett a szeme előtt, az érintőszerkesztés módszerének általánosítása érdekében. Ezeket a század végi—század eleji interpretációkat ismétlik a későbbi történészek. Pl. L. J. Beck, aki Liard interpretációját eleveníti fel, kidolgozva a Geometrie és a Regulae közötti összefüggéseket. Egy másik angol történész, J. F. Scott pedig Charles Adam értelmezését részletezi: „Minden algebrai számítás öt elemi műveletből, összeadásból, kivonásból, szorzásból, osztásból, gyökvonásból van összetéve. Hasonlóképpen, mondja Descartes, a geometriai szerkesztéseket öt megfelelő elemi szerkesztésből kell összetenni. Algebra és geometria így egymás struktúrájára vetnek fényt." A geometriai értelmezés felől közeledik a Geometrie-hez Morris Kline. Arra a hirtelen megnőtt szükségletre figyelmeztet, amit a XVII. század elejének technikai természettudományos fejlődése támasztott a különféle görbékkel szemben. Az antikvitás görbéi nem voltak elegendőek ennek a keresletnek a kielégítésére. Itt lépett közbe Descartes. A görbét egy változó hosszúságú egyenes vonalszakasz mozgásaival állítja elő, ezen egyenes és talppontjának egy választott kezdőponttól való távolsága között algebrai egyenletet állít fel, s így megadja a kívánt új módszert különféle görbék előállítására. Ezt az inkább ötletszerű interpretációt alapozza meg tudományos pontossággal D. T. Whiteside. Szerinte Descartes az algebrai görbéket „ponthalmazként" fogja fel, s az x, y koordináta hosszúságok közötti kapcsolat és a görbét kifejező egyenlet közötti aequivalencia analitikus feltételét adja meg f(x, y) = 0 formában. „Ilyen körülmények között csak akkor meglepő, hogy a Geometrie olyan nagy része foglalkozik egyenletek analízisével, ha elfogadjuk azt a modern szempontot, amely ezekben az eljárásokban pusztán algebrai technikát lát. Mélyebb szinten azonban a Geometrie nagy része az általános független-változós polinomot megszabó feltételeket kutatja —, amely vizsgálat közvetlenül kapcsolódik a geometriai pont (és vonal) halmazok elméletéhez." Descartes matematikai módszerének egyik legutóbbi interpretátora, Jules Vuillemin szerint viszont Descartes az „algebrai függvények általános elméletét" redukálja a geometriai arányelméletre azáltal, hogy csak olyan görbéket enged meg, amelyeknek minden pontja megszerkeszthető. Ekkor a görbe egyetlen pontjának a megadásában sincs szükség megközelítésre, határátmenetre, mint az pl. a De Beaune-feladat görbéje esetében szükséges volt. „Csupán, mivel az analitikus geometria szemszögéből ítéltek, hihették azt, hogy Descartes számot és pontot azonosítva a pontból, azaz a számból indul ki az egyenes megszerkesztésében. Ez a reprezentáció azonban az utódoké, nem az övé. Az ő elve a pontos arányok elve, aminek a Módszer által kapott mennyiségek között kell fennállnia. A meghúzható vonalak között kétféle van: azok a görbék, amelyek algebrai egyenletnek felelnek meg, és az egyéb görbék. Az előbbiek Descartes szerint... szabályozott, pontos és folytonos szerkesztés által keletkeznek. Az utóbbiak csak diszkontinuusan szerkeszthetők meg, grafikus eljárásokkal. Összefoglalva, a filozófus szándéka annak a befejezése volt, amit a görögök kezdtek el. A körzővel-vonalzóval való szerkesztés engedélyezése azt a bővített számtestet eredményezte, amiben csak négyzetgyökök fordultak elő; a Descartes által elfogadott szerkesztések rendeltetése az volt, hogy — modern kifejezést használva — megteremtse a számtest általános algebrai bővítését, a grafikus eljárásoknak átengedett transzcendens testbővítés kizárásával." Lényegében ugyanezt az interpretációt vezette be már évekkel Vuillemin előtt a XVII. század matematikájának legjobb ismerője, J. E. Hofmann is. Descartes „különbséget tesz precíziós matematika és approximációs matematika között. Minden algebrai úton megoldható problémát — ő geometrikusoknak nevezi ezeket — a precíziós matematikába sorol, minden egyebet — ő mechanikusoknak hívja — az aproximációs matematikába ... Egyidejűleg, a vonalszakasz-egység bevezetésével aritmetizálja a geometriát. A számfogalom, ami kezdetben a természetes számokra korlátozódott és csak fáradságos lépések árán volt kiterjeszthető törtekre, negatív számokra és egyszerű irracionalitásokra, egy csapással lényegesen kibővített: az algebrai számok egész tartományát felölelte." Carl Boyer, az analitikus geometria történetének monográfusa nem látja ilyen kimagaslónak Descartes matematikai teljesítményét. Szerinte Descartes Viète célját veszi át, ami algebrai egyenletek gyökeinek geometriai szerkesztése volt. Descartes tette pusztán új jelölések bevezetésében állott. Az analitikus geometriát viszont Fermat teremti meg, aki ugyan megtartotta Viète régi jelölésmódját, de bevezette az új, analitikus geometriának megfelelő célkitűzést: a geometriai hely, tanulmányozását. Mi volt hát valójában a Geometrie? Analitikus geometria? Algebra? Arányelméletre redukált egyenletelmélet? Görbék előállítására és osztályozására bevezetett módszer? Algebrai polinomok elmélete? Kezdődő függvényelmélet? Számtestbővítés? Vagy, mint Tannery sejtette, előkészület egy általános érintőszerkesztési módszerhez? Vagy egyszerűen, Descartes szándékosan homályba borított könyvében bizonyos részleteket, s ezek vezetik félre az interpretátorokat? „Különös élvezet — írta erre célozva a legnagyobb Descartes-filológus, Charles Adam — , ami újból rávilágít arra, hogy Descartes bizony egy kicsit misztifikátor volt." A Geometrie valóban nagyon különös olvasmány. Könnyed és élvezetes, átfutva azt hiszi az ember, hogy teljesen érti. Azután újra kézbe véve meglepődik: mennyire nem értette meg először!

Actions (login required)

Edit Item