A Kolmogorov—Szmirnov és más nemparaméteres próbák erőfüggvényéről

Vincze, István (1965) A Kolmogorov—Szmirnov és más nemparaméteres próbák erőfüggvényéről. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 15 (2). pp. 97-105.

Preview

Text cut_MATFIZ_15_2_1965_pp97_-_105.pdf - Published Version Download (428kB) | Preview

Abstract

Próbák hatásosságának, különböző ellenhipotézisekkel szemben mutatott viselkedésének vizsgálata, ugyanezen tulajdonságoknak két próbára vonatkozó összehasonlítása az erőfüggvény segítségével történhet. Míg számos paraméteres próba erőfüggvénye egyszerűen előállítható, addig nemparaméteres próbák esetén ez az előállítás sok esetben nem egyszerű. Az alábbiakban explicite megadjuk a kétmintás Szmirnov-próba erőfüggvényét egyenlő mintadarabszámok esetén, vagyis a Gnyegyenko—Koroljuk esetben éspedig, ha nullhipotézisként mindkét változóra a [0, 1] intervallumban az egyenletes eloszlást választjuk, míg ellenhipotézisként ugyanezen intervallumban az egyik eloszlásfüggvény az egyenletes, a másik pedig szakaszonként lineáris, folytonos eloszlásfüggvény. A próbák tulajdonságainak vizsgálata szempontjából a [0, 1] intervallumra való szorítkozás nem lényeges. Ugyanakkor meggondolásainkból kitűnik, hogy módszerünk alkalmazható más nemparaméteres próbák esetén is és az erőfüggvény explicit, számolásra alkalmas felírhatóságának feltétele lényegében az, hogy a próbánál alkalmazott statisztika eloszlása nullhipotézisre explicite felírható legyen. Esetünkben a Gnyegyenko—Koroljuk eloszlások, illetve azok bizonyos módosított alakjai kerülnek alkalmazásra, amely eloszlásokat a szerző Reimann Józseffel közös cikkében [6] használt. A kétmintás Szmirnov-próba erőfüggvényének explicit előállítását Hoeffding [3] adta meg azáltal, hogy a két minta elemei minden lehető sorrendjének valószínűségét felírta adott folytonos ellenhipotézisre. E valószínűségeket kell összegezni a kritikus tartományra, amely előállítás azonban igen bonyolult, aszimptotikus vizsgálatra nem alkalmas. Lehmann [4] alkalmazta e formulát egyszerű ellenhipotézisekre és kisszámú mintadarabokra (m = n = 4, 6) kiszámította az erőfüggvényt. Mind az egymintás Kolmogorov-próba esetén, mind a kétmintás Kolmogorov—Szmirnov esetben Massey [5] A következőképpen járt el: Tekintette A változónak olyan értékét, amelyre a nullhipotézist és az alternatívát adó két eloszlásfüggvény (illetve kétmintás esetben az alternatívát adó két eloszlásfüggvény) eltérése maximális. Annak valószínűsége már most, hogy az empirikus és az elméleti eloszlásfüggvény, illetve a két empirikus eloszlásfüggvény eltérése e kiválasztott helyen nagyobb, mint egy adott érték, kisebb, minthogy a megfelelő szuprémum, tehát a különbség valahol nagyobb, mint az illető érték. Ez utóbbi esemény azonban — az állandó kellő megválasztásával — a kritikus tartományt adja és ily módon az erőfüggvényt alulról becsültük egyetlen pontbeli esemény valószínűségével, amely valószínűség binomiális kifejezések összege. E szellemes módszert azóta is sokszor alkalmazták. Legutóbb J. Rosenblatt [7] mutatott rá, hogy Massey, aki a binomiális eloszlást normálissal közelítette, jelentősen eltért a pontos értéktől és — igen bonyolult iterációval — javította is a módszert. Lényegében e két módszerben fellelhető gondolatokat alkalmazták az erőfüggvény vizsgálatánál más szerzők is, mint Z. W. Birnbaum [1], I. R. Savage [8], D. G. Chapman [2]. E szerzők vizsgáltak szakaszonként lineáris alternatívákat is elsősorban bizonyos, az alternatívák terében értelmezett távolságokhoz tartozó extrém helyzeteknek megfelelő maximum és minimum alternatívákat. Érdekessége van azonban más típusú, szakaszonként lineáris függvényekből előállítható alternatívák vizsgálatának is és erre irányulnak szerző jelen és további vizsgálatai. A következőkben az általános esetre érvényes formula felírása után, „igen közeli" alternatívákat vizsgálunk, majd bizonyos alternatívákra — kis minták esetén — első- és másodfajú hibákat adunk meg. Tekintettel arra, hogy a 20—50-es mintadarabszám a gyakorlatban eléggé sokszor kerül alkalmazásra, e számított értékek tájékoztatást nyújtanak, hogy milyen ellenhipotézisekre van értelme ilyen nagyságú minták esetén a próbát egyáltalán alkalmazni. Szerző e kérdések további vizsgálatára vissza kíván térni.

Actions (login required)

Edit Item