Tömegkiszolgálási problémákról, I.

Tomkó, József (1965) Tömegkiszolgálási problémákról, I. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 15 (3). pp. 289-312.

Preview

Text cut_MATFIZ_15_3_1965_pp289_-_312.pdf - Published Version Download (2MB) | Preview

Abstract

A tömegkiszolgálással foglalkozó elméleti munkák többségében főként olyan szkémák diszkussziója felé irányul a figyelem, amelyek kiszolgáló készülékei sohasem veszthetik el munkavégző-képességüket. A különböző problémafelvetések, amelyeknél a matematikai modellek feltételeinek a reális körülményekhez való közelítési foka más és más, egy közös vonásban, a kiszolgáló készülékek abszolút üzembiztonságának feltételezésében megegyeznek. Magától értetődik, hogy ezen utóbbi megszorítás elengedése is szükséges ahhoz, hogy sok, a gyakorlatban felmerülő problémát érdemlegesen vizsgálhassunk. Általában a kiszolgáló rendszerek effektivitását nagymértékben befolyásolják a kiszolgáló készülékek meghibásodásai s ezzel a hatással az esetek túlnyomó többségében számolnunk kell. Valamely telefonközpont csatornái, avagy más kiszolgáló berendezések, készülékek, emberek, általában nem képesek tetszőleges hosszúságú ideig funkciójukat hibátlanul teljesíteni. Időszakonként a kiszolgáló készülékek felújításra szorulnak, emiatt a kiszolgálási folyamat intenzitása csökken vagy teljesen megszűnik, s ez maga után vonja a rendszer effektivitásának a megváltozását. A probléma tanulmányozása először az elvesztéses rendszerekkel kapcsolatos Erlang-formulák vizsgálatával indult meg. Általában feltételezték, hogy a készülékek csak munkaperiódusok, avagy csak szabad periódusok alatt romolhatnak el. Az esetben, amikor mind a szabad, mind a munkaperiódusok alatt bekövetkezhetnek a készülékek meghibásodásai, csak további, eléggé irreális feltevések mellett értek el eredményeket. Ilyen feltevés például az, hogy mind a szabad, mind a munkaperiódusok kezdő pillanataiban a készülékek megfeledkeznek múltukról. Ez azt eredményezi, hogy a soronkövetkező periódus alatti meghibásodás nem függ az előző periódus hosszától. A jelen és a következő néhány dolgozatban különböző, meghibásodásoknak alávetett készülékkel rendelkező egycsatornás kiszolgáló rendszerekkel kapcsolatos problémákat fogunk vizsgálni. Ahol csak lehet, az előbb említett irreális feltevéstől el fogunk tekinteni. Emellett megengedjük majd azt, hogy a munkaperiódusokban nagyobb legyen a készülék kihasználódási intenzitása, mint a szabad periódusokban. Az utóbbi szituációt most pontosabban körülírjuk. E célból bevezetjük a készülék üzembiztonsági tartalékának (rövidítve: ü. b. tart.) fogalmát, mely alapvető szerepet fog játszani a továbbiakban is. A készülék ü. b. tartalékán értjük azt az általában véletlen értékű, a készülék specifikus sajátosságának megfelelő ún. üzemanyagot (benzin, elektromos energia stb.), melynek esetleges kellő mértékű hiánya a készülék meghibásodását, munkavégző képességének elvesztését idézi elő. Feltételezzük, hogy a készülék ü. b. tartaléka mind a szabad, mind a munkaperiódusok folyamán csökken. A csökkenést az idővel arányosnak tételezzük fel, éspedig, a szabad periódusok alatt c = l, míg a munkaperiódusok alatt c > 1 arányossági tényezővel. Ennek értelmében az ü. b. tartalék mértékszáma megegyezik azon időhosszal, amelynek folyamán a készülék hibátlan állapotban marad, hacsak munkavégzésre nem kényszerül. Mindvégig feltételezni fogjuk, hogy miután a készülék elvesztette ü. b. tartalékát, azaz meghibásodott, nyomban elkezdődik a javítása, felújítása, mely véletlen ideig tart. A következő jelöléseket fogjuk használni: ω(t) jelöli a készülék t pillanatbeli ü. b. tartalékát. Ha a t pillanatban a készülék javítás alatt van, akkor definíciószerűleg ω(t) = 0. Legyenek az ⁻rᵢ rᵢ i-dik javítás kezdő, ill. végződési pillanatai. (i = 0 esetén ⁻r₀ = 0, r₀ > 0 meghatározottak, ha a t = 0 pillanatban a készüléket éppen javítják.) Legyenek továbbá δᵢ = rᵢ — ⁻rᵢ (i ≧ 0), ηᵢ = ω(rᵢ + 0) (i ≧ 1), η₀ = ω(r₀ + 0), ha r₀ értelmezett, míg más esetben η₀ = ω(0). Feltételezzük, hogy a δᵢ-k, ηᵢ-k összességükben egymástól független valószínűségi változók s i ≧ 1 mellett P(δᵢ ≦ x) = G(x), Р(ηᵢ ≦ x) = Н(х). A jelen dolgozat 1. §-ában egy egycsatornás veszteséges rendszerrel kapcsolatos problémát vizsgálunk. Felvetjük ugyanezt a problémát n készülék esetére is, majd röviden vázoljuk a feladat megoldását azon egyszerű esetben, amikor az előforduló összes valószínűségi változók mind exponenciális eloszlásúak. A 2. §-ban módosítjuk a vesztési elvet. Feltételezzük, hogy a készülék hibátlan periódusaiban beérkező igények a „rendszerben maradnak", ha szükséges sorban állnak. Ha viszont bekövetkezett a készülék meghibásodása, akkor a rendszerben tartózkodó, továbbá a javítási idő alatt érkező összes igény mind elvész, azaz kiszolgálás nélkül távozik.

Actions (login required)

Edit Item