Komplementumos hálók szerkezetéről

Szász, Gábor (1959) Komplementumos hálók szerkezetéről. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 9 (1). pp. 57-79.

Preview

Text cut_MATFIZ_9_1_1959_pp57_-_79.pdf Download (1MB) | Preview

Abstract

A hálók különféle speciális osztályai közül a hálóelméleten belül is, de még inkább annak a matematika más ágaiban való alkalmazásai terén, ki-emelkedő szerepet játszanak a komplementumos és a relatív komplementumos hálók. Ennek megfelelően számos kutató foglalkozott az ilyen hálók szerkezetének vizsgálatával, továbbá olyan természetű problémákkal, hogy bizonyos típusú hálók komplementumos vagy relatív komplementumos voltára milyen más (bizonyos esetekben egyszerűbben kimutatható) szükséges, elegendő, illetve szükséges és elegendő feltételek adhatók meg. Ez a dolgozat is ilyen természetű kérdéseket tárgyal. Az I. fejezet a tárgyalás szempontjából legfontosabb definíciókat tartalmazza. A 2. fejezet először Neumann egy klasszikus tételének bizonyos értelmű megfordításával foglalkozik. Ez a megfordítás lényegileg egy speciális alakú, komplementumos moduláris hálók feletti egyenletrendszer megoldhatóságának kimutatását jelentené; közben azonban többre jutunk abban a tekintetben, hogy az 1. tételben egy olyan eljárást adunk meg, amely a felvetődött egyenlet-rendszer Összes megoldásainak meghatározására alkalmas, mégpedig nemcsak komplementumos moduláris, hanem tetszés szerinti korlátos relatív komplementumos hálók esetében is. A tétel erejét mutatja, hogy belőle, ill. felhasználásával számos más eredmény adódik. Így, a fejezet hátralevő részében, a komplementumos moduláris hálókra vonatkozó apróbb alkalmazásokon kívül, e tételre támaszkodva igen egyszerű bizonyítást adunk arra az ismert tételre, hogy minden egyértelműen komplementumos moduláris háló disztributív. A 3. fejezetben pedig egy Dilworth-től származó s a kettős végességi követelménynek eleget tevő komplementumos hálók modularitására vonatkozó kritérium érvényességét e tétel segítségével a korlátos relatív komplementumos hálók osztályára is kiterjesztjük. Ebből adódik a 6. tétel, amely szerint egyértelműen komplementumos nemmoduláris háló nem lehet relatív komplementumos. Ugyancsak a 3. fejezetben még egy szükséges és elegendő feltételt adunk komplementumos hálák moduláris voltára vonatkozólag. A 4. fejezet problémája a 3. fejezet első fában ismertetett Dilworth-féle tételhez analóg. tétel. felállítása (közelebbről, egy bizonyos típusú részháló létezésének kérdése) komplementumos nemdisztributív moduláris hálókra. Egyszerű példák mutatják, hogy a pontos analógia nem érvényes; ennek megfelelően szükséges és elegendő feltételt adunk a kívánt típusú részháló létezésére (8. tétel). A tételből rögtön adódik egy projektív geometriai jellegű eredmény olyan páronként idegen lineáris altérhármasok létezéséről, ill. nemléte-zéséről, amelyek közül bármely kettő kifeszíti a teret. A tétel érdekessége, hogy a fent nevezett típusú hálók direkt felbontásában szereplő komponensek hosszúságának páros vagy páratlan voltával kapcsolatos. Az 5. fejezet fő eredménye az, hogy féligmoduláris félkomplementumos háló bármely elemének maximális félkomplementumai egyben az illető elem komplementumai (9. tétel).. Következményeként egy elegendő feltétel adódik arra, hogy egy féligmoduláris télkomplementumos háló komplementumos legyen. (Ilyen kérdésekkel a szerző már régebben is foglalkozott; a jelenlegi eredmény a régebbieket is magában foglalja.) Tételünket rögtön alkalmazzuk olyan végtelen hosszúságú féligmoduláris félkomplementumos hálókra, amelyeknek valamennyi, a háló esetleg létező legnagyobb elemét nem tartalmazó rész-hálója már véges hosszúságú.

Actions (login required)

Edit Item