Standard ideálok

Grätzer, György (1959) Standard ideálok. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 9 (1). pp. 81-97.

Preview

Text cut_MATFIZ_9_1_1959_pp81_-_97.pdf Download (1MB) | Preview

Abstract

E dolgozat célkitűzése a hálóideálok egy speciális osztályának, a standard ideáloknak definiálása és részletes vizsgálata. A standard ideál fogalmának szükségességét két körülmény is indokolja. E fogalom bevezetéséhez első útként az a törekvés szolgálhat, amely a hálók ideálelméletét a gyűrűk ideáljainak (csoportok normálosztóinak) szerepéhez hasonlóan kívánja kidolgozni. Itt elsősorban arra gondolunk, hogy minden gyűrű ideál egy és csak egy homomorfizmus magja, továbbá az ideálok kielégítik az ismert izomorfia tételeket, a Zassenhaus lemmát és a Jordan—Hölder—Schreier tételt. Könnyű látni azonban, hogy hálók körében a szokásos ideálfogalommal általában egyik előbbi tétel sem marad érvényben. A fenti kérdések közül a hálóelméleti ideálfogalomnak a homomorfizmusmagokkal létesíthető kapcsolatát Schmidt E. Tamással együtt írt [3] és [4] dolgozatunkban vizsgáltuk. Más fontos feladat ezek után az izomorfia tételek és a Jordan—Holder—Schreier—Zassenhaus tétel érvényességének vizsgálata. E tételek mind bizonyos faktorstruktúrákra vonatkozó állítások, s ezek analogonjait hálók körében keresve mindenekelőtt szükséges a faktor-háló alkalmas definiálása. Az L/I faktorhálón az L háló egy olyan homomorfizmusa által létrehozott homomorf képét kell értenünk, amely homomorfizmusnak magja az I ideál. Azonban ha az I ideállal képezhető is az L/I faktorháló, ez általában nem lesz egyértelmű. Két kézenfekvő megállapodás lehetséges: az I magú homomorfizmusok közül a legkisebb, ill. a legnagyobb kitüntetése L/I egyértelmű értelmezésénél. K. Shoda [8] cikkében kimutatta, hogy az utóbbi definíciót véve alapul, érvényesek maradnak az előbb felsorolt tételek. Azonban már J. Hashimoto is rámutatott [5] dolgozatában arra, hogy ez hálók esetében nem jelent túl sokat, hiszen pl. láncoknál csak a kételemű homomorf képeket veszi tekintetbe. Ezért a továbbiakban az L/I faktorhálón az L háló I maga legkisebb homomorfizinusa szerinti faktorhálóját értjük. Disztributív hálóban — a faktorháló ilyen definíciójával — könnyűszerrel nyerhető, hogy az ideálokra érvényesek a fentebb említett tételek. J. Hashimoto [5) dolgozatában bebizonyította, hogy ezen a módon a hálóelméletben jól ismert neutrális ideálokat is igaz tételek nyerhetők. Könnyű azonban példát konstruálni arra, hogy nem minden olyan ideálosztály, amelyben érvényesek az előbb említett tételek, szükségképpen a neutrális ideálok osztálya. Egy általános ideálosztályt, amelyben igazak a fenti tételek és amely tartalmazza a neutrális ideálok osztályát, szolgáltatnak a standard ideálok. Következőkben vázoljuk a standard ideál fogalom szükségességének másik okát. R. P. Dilworth [2] munkájában kezdte meg a relatív komplementumos hálók strukturális vizsgálatát. Egyik fő észrevétele az volt, hogy a véges hosszúságú, komplementumos, moduláris hálók elméletéből ismeretes G. Birkhofftól és K. Mengertől származó alaptétel érvényes a véges relatív komplementumos hálók körében. Ezen általánosítási törekvés azóta sok más szerzőnél is megtalálható. Kézenfekvő tehát a relatív komplementumos hálók körébe kiterjeszteni azokat a tételeket, amelyek komplementumos, moduláris hálók •neutrális ideáljaira vonatkoznak (lásd. pl. Birkhoff [1) 125. old. és Shih—Chiang Wang [9]). Ez esetben azonban a tételek szó szerinti átvitele nem vezet helyes eredményre, főleg ha olyan 0 elemes hálókat tekintünk, ahol csak a [0, a] intervallumok komplementumosságát tesszük fel. Tehát itt is egy olyan új ideálosztály bevezetésére van szükség, melynek segítségével átmenthetők az előbb említett tételek, s amely ideálosztály moduláris hálók körében megegyezik a neutrális ideálokkal. Ezt a célt ismét a standard ideálok segítségével érjük el. A dolgozat 2. §-ában nyújtjuk a standard elem és ideál definícióját és több ekvivalens feltétellel jellemezzük ezeket. A 3. §-ban a standard elemnek és ideálnak néhány alapvető, az előbbi jellemzésekből leszűrhető tulajdonságát foglaljuk össze. A 4. § a standard elem és neutrális elem kapcsolatát vizsgálja, s egy elég általános hálóosztályban (mely a moduláris hálókat is magában tartalmazza) kimutatja a két fogalom ekvivalenciáját. Igazoljuk, hogy {s₁, s₂, x}disztributív részháló, ha x tetszőleges és s₁, s₂ standard elem. Az 5. §-ban a standard ideálok és homomorfizmusmagok viszonyát nézzük meg. Ugyanitt adjuk Birkhoff és Wang fentebb említett tételeinek általánosításait. Továbbá tetszőleges háló standard ideál szerinti faktorstruktúráját jellemezzük. A 6. §-ban a két izomorfia tételt és a Jordan—Hölder—Sehreier—Zassenhaus tételt bizonyítjuk standard ideálokra. A 7. §-ban ellenpéldákat mutatunk be s a dolgozatot néhány probléma felsorolásával fejezzük be.

Actions (login required)

Edit Item