Banach-terekben értelmezett nemlineáris egyenletekről

Fenyő, István (1953) Banach-terekben értelmezett nemlineáris egyenletekről. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI, 3 (1). pp. 71-83.

Preview

Text cut_MATFIZ_3_1_1953_pp71_-_83.pdf - Published Version Download (630kB) | Preview

Abstract

A matematikai fizika számos problémája tudvalevően nemlineáris algebrai egyenletekre vagy egyenletrendszerekre, nemlineáris differenciál- és integrálegyenletekre, integrodifferenciálegyenletekre stb. vezet. Ezek gyakran mint valamilyen Banach-térben értelmezett nemlineáris egyenletek értelmezhetők, így tehát a Banach-terek nemlineáris egyenleteinek megoldása a matematikai fizika szempontjából fontos feladat. Nemlineáris közönséges egyenletekkel vagy egyenletrendszerekkel és különböző speciális nemlineáris függvényegyenletekkel igen sok szerző foglalkozott, ezzel szemben az általános Banach-terek nemlineáris egyenleteiről, aránylag keveset írtak. Pedig a Banach-terek egyenleteinek vizsgálata rendkívül sokféle nemlineáris egyenlet megoldhatóságára ad felvilágosítást, sőt a numerikus megoldásra egységes eljárást szolgáltat. Ezzel a kérdéssel újabban L. V. Kantorovics és tanítványai foglalkoztak. Lényegében a Newton-féle iterációs eljárást és annak közönséges egyenletek körében jólismert módosítását vitték át a Banach-terekben értelmezett egyenletekre. Jelen dolgozat szintén a Banach-terek nemlineáris egyenleteivel foglalkozik. Egy ilyen egyenlet egyértelmű megoldhatóságának problémája úgy is megfogalmazható, hogy megvizsgálandó valamely Banach-térben értelmezett függvény inverz függvényének exisztenciája a tér valamely helyének környezetében. Ezzel kapcsolatban kimutatjuk, hogy ha Fréchet értelemben differenciálható függvényről van szó, akkor a valós, differenciálható függvények inverz függvényeinek exisztenciájáról szóló közismert tétel majdnem szószerint érvényes az általános Banach-terekben is. Természetes, hogy ez magában foglalja az implicit függvények exisztenciájáról szóló tételt is. Rényi Alfréd felhívta figyelmemet arra, hogy a kimondott tétel nem egyéb, mint a módosított Newton-féle gyökközelítő eljárás analogonja a Banach-térben és a tétel ennek konvergenciájára nézve ad elégséges feltételt. Ugyanerre vonatkozik L. V. Kantorovics egyik tétele, de míg Kantorovics tételének kimondásában és a bizonyításában felhasználja a függvény második differenciálhányadosát és feltételezi, hogy az korlátos, addig itt pusztán az első differenciálhányados létét és folytonosságát kívánjuk meg. Ezzel a módosított Newton-féle eljárás konvergenciájára vonatkozó tétel egyszerűbb alakot nyer. Igaz viszont, hogy L. V. Kantorovics erösebb feltevései mellett az eljárás konvergenciája gyorsabb.

Actions (login required)

Edit Item