A kuboktaéder gömbi hálózatának egy szélsőérték-tulajdonsága = An Extremal Property of the Spherical Net of the Cuboctahedron

Heppes, Aladár (1958) A kuboktaéder gömbi hálózatának egy szélsőérték-tulajdonsága = An Extremal Property of the Spherical Net of the Cuboctahedron. A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI KUTATÓ INTÉZETÉNEK KÖZLEMÉNYEI, 3 (1-2). pp. 97-99.

Preview

Text cut_MATKUTINT_3_1_-_2_1958_pp97_-_99.pdf Download (1MB) | Preview

Abstract

A gömbfelületet n főkör legfeljebb n(n — 1) + 2 részre osztja fel. Tekintsünk ugyanis n — 1 főkört, majd írjunk a gömbre egy n-ediket. Ennek az előzőkkel legfeljebb 2(n — 1) metszéspontja van, más szóval az első n — 1 főkör által meghatározott tartományok közül legfeljebb 2(n — 1)-et szel ketté. Egy főkör két részre, n főkör tehát legfeljebb 2 + 2 (1 + 2 + ... + n — 1) = n(n — 1) + 2 részre osztja a gömböt. Látható, hogy a fenti érték pontos minden olyan esetben, ha nincs három, közös ponttal rendelkező főkör. Mondhatjuk, hogy a keletkező részek száma mindig n(n — 1) + 2, megengedve, hogy ezek között 0 területűek is előforduljanak. Fejes Tóth László hívta fel figyelmemet annak a kérdésnek a vizsgálatára, hogy miként kell n számú főkört a gömbön úgy elhelyezni, hogy ezek a felszínt a lehető „legegyenletesebben" osszák n(n — 1) + 2 részre. Az n = 1, 2, 3 esetekben egy főkör, két merőleges, illetve három páronként egymásra merőleges főkör egybevágó részekre való, tehát teljesen egyenletes felosztást eredményez. Általában azonban nem osztható fel a gömb felszíne n(n — 1) + 2 egyenlő területű részre. Az „egyenletesség" általánosabban érvényes definiálása természetesen többféleképp lehetséges. Talán a két legkézenfekvőbb út azt a felosztást nevezni legegyenletesebbnek, amelynél a területre nézve legkisebb rész területe a lehető legnagyobb, illetve amelynél a legnagyobb területű rész területe a lehető legkisebb. Négy főkör esetére megadjuk az előbbi értelemben legegyenletesebb felosztást, továbbá kimutatjuk, hogy az utóbbi értelemben legegyenletesebb felosztás ettől különböző.

Actions (login required)

Edit Item