Algebrai geometria és határterületei = Algebraic geometry and related fields

Szamuely, Tamás and Domokos, Mátyás and Gerlits, Ferenc and Némethi, András and Szabó, Endre and Szendrői, Balázs and Szilárd, Ágnes (2007) Algebrai geometria és határterületei = Algebraic geometry and related fields. Project Report. OTKA.

Preview

PDF 46378_ZJ1.pdf Download (47kB)

Abstract

A kutatás hű maradt a pályázatban vázolt interdiszciplináris jelleghez, és a szigorúan vett algebrai geometriai problematikát és módszereket ötvözte más területek technikáival. Sikerült kiszámolnunk a komplex normális algebrai felület-szingularitások csomójának Heegaard-Floer homológiáját, és bevezettük egy új invariáns, a súlyozott gyökér fogalmát. Előrehaladást értünk el a komplex projektív síkgörbék szingularitásainak topológiai jellemzése terén is. Felállítottunk egy Riemann-Roch típusú formulát kanonikus ciklikus szingularitásokkal rendelkező komplex algebrai 3-sokaságokra, s e formula segítségével sikerült új Calabi-Yau 3-sokaságokat konstruálnunk. Kimutattuk, hogy egy racionálisan összefüggő komplex projektív sokaság hurokterei is racionálisan összefüggők. Aritmetikai geometriai kutatásaink legfontosabb eredménye egy számtest felett definiált 1-motívum, illetve a duális 1-motívum Tate-Safarevics csoportja között fennálló dualitás igazolása. Dualitástételeinknek alkalmazását is adtuk számtestek felett definiált szemi-Abel-varietások főhomogén tereinek racionális pontjaira. Invariánselméleti kutatásaink során meghatároztuk az általános lineáris, az ortogonális, és a szimplektikus csoportok kvantum koordinátagyűrűihez tartozó FRT- bialgebrákban a kokommutatív elemek által alkotta részalgebra explicit generátorait és az azok közötti relációkat, és konstrukciót adtunk új kvantum kvázihomogén terekre. | Our research remained faithful to the interdisciplinary spirit of the proposal, and blended the research area of algebraic geometry with techniques from other fields. We succeeded in computing the Heegaard-Floer homology of the link of complex normal algebraic surface singularities, and defined new invariants for them called weighted roots. We also achieved progress on the topological characterization of complex projective plane curves. We established a Riemann-Roch formula for complex algebraic threefolds with canonical cyclic singularities, and used it to construct new Calabi-Yau threefolds. We showed that loop spaces of a rationally connected compex projective manifold are again rationally connected. In arithmetic geometry our main result is a duality theorem between the Tate-Shafarevich group of a 1-motive defined over a number field and that of the dual 1-motive. We gave also applications of our duality theorems to the study of rational points on principal homogeneous spaces under semi-abelian varieties. In invariant theory we found explicit generators and relations for the subalgebra of cocommutative elements in the FRT bialgebras associated with the quantum coordinate rings of general linear, orthogonal and symplectic groups, and constructed new quantum quasi-homogeneous spaces.

Actions (login required)

Edit Item