Additív és multiplikatív számelmélet = Additive and multiplicative number theory

Ruzsa, Imre and Balog, Antal and Hegyvári, Norbert and Pintz, János and Sándor, Csaba (2007) Additív és multiplikatív számelmélet = Additive and multiplicative number theory. Project Report. OTKA.

Preview

PDF 38396_ZJ1.pdf Download (72kB)

Abstract

1. A Goldbach-sejtésről: Ismert a páros Golbach-sejtéssel kapcsolatban, hogy majdnem minden páros szám esetén igaz a páros Goldbach-sejtés. A pályázat keretei között a korábbi eredményeket Pintz János lényegesen megjavította, megmutatva, hogy a kivételek száma X-ig legfeljebb O(X^{2/3}). A páros Goldbach-sejtés irányában Linnik bizonyította, hogy van olyan K korlát, hogy bármely elég nagy páros szám előáll két prímszám és legfeljebb K darab 2-hatvány összegeként. Pintz János és Ruzsa Imre kutatásai eredményeként sikerült csökkenteni a K-ra a felső korlátot (K=8). 2. Konzekutív prímszámok hézagairól Jelölje d_k a (k+1)-edik és a k-ik prímszám differenciáját. Pintz János, Goldstonnal és Yildirimmel a szitamódszereket továbbfejlesztve, bebizonyította, hogy d_k végtelen sok k esetén legfeljebb (log k)^{1/2}(log log k)^2 nagyságrendű. 3. Néhány diofantikus egyenletről Balog és Ono elliptikus görbékhez hozzárendelt algebrai objektumok, nevezetesen az ideálosztályok csoportja és a Safarevics-Tate csoport szerkezetével foglalkoztak. Ez a 2m^k=p_1+p_2 egyenlet megoldhatóságára vezet, ahol p_1 és p_2 prímek. 4. Hilbert-kockákkal kapcsolatos kérdések. Hegyvári N. és Sándor Cs. Hilbert kockák dimenziójára és különböző halmazokban való előfordulását vizsgálja. 5. Freiman-típusú kérdések Elekes György és Ruzsa Imre vizsgálta kicsi összeghalmazok Freiman-féle elméletét arra az esetre, amikor nem az összes összeget képezzük, hanem egy adott gráfban összekötött szám-párokat adjuk össze. | 1. On Goldbach-conjecture The exceptional Goldbach-set is defined as a set of all even numbers which cannot be written as a sum of two prime numbers. The best known result is O(X^{0.92}) up to X. During the period of our project Pintz improved it to O(X^{2/3}). As an approximation to the Goldbach conjecture Linnik examined the problem that for which K will be true that every large integer is a sum of two primes and at most K powers of two. Using the GRH Pintz and Ruzsa proved that K is at most 7, and K is at most 8 without any hypothesis. The best known results were 2250 and 200 respectively. 2. On consecutive gaps of the sequence of prime numbers Let d_k be the gap between the k^th and the (k+1)^th primes. Pintz (with Goldston és Yildirim) proved that d_k<c(log k)^{1/2}(log log k)^2 for infinitely many k. 3. On a diofantine equation The paper of A. Balog and K. Ono studies the structure of class group of imaginary quadratic fields. The study is closely connected to the solvability of 2m^k=p_1+p_2, where k is fixed, m is an integer and p_1, p_2 are primes. 4. On Hilbert cubes Hegyvári and Sándor investigated the dimension and the structure of Hilbert cubes in certain sets. 5. Freiman-type questions Let A be a finite set and let G be a finite graph on the vertices {1,2,?card(A)}. A restricted addition A+_G A is the set of all elements which can be written as a_i +a_j if and only if (i,j) in E(G). Elekes and Ruzsa proved that if G is strongly connected then the sumset is 'small'.

Actions (login required)

Edit Item